Agon Dise

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:

 $\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}\leq \frac{3}{4}$

Ta có $\sum \frac{4\sqrt{ab}}{a+b+2c}\leq \sum \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}  {a+b+2c}\leq \sum\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}=3$ 

Ta có điều phải chứng minh

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:

 $\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}\leq \frac{3}{4}$

Cho a,b,c $\geq0$ và a + b + c = 1. Chứng minh:
$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$

Ta có $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$ = $a + \sqrt{\frac{a}{2}.2b} +\sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c}\leq a+\frac{a}4+b+\frac{a}{12}+\frac{b}{3}+\frac{4c}{3}=\frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Cho a,b,c $\geq0$ và a + b + c = 1. Chứng minh:
$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$

Mình giải bài của mình luôn
Ta có $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$

=> $2(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} + a + b + c$

=> VT $\geq (\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b)+(\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c)+(\frac{c^2-ca+a^2}{a}+a)$

=> VT $\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2} + 2\sqrt{b^2-bc+c^2} +2\sqrt{c^2-ca+a^2}$

Ta có điều phải chứng minh