Agon Dise

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:

 $\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}\leq \frac{3}{4}$

Ta có $\sum \frac{4\sqrt{ab}}{a+b+2c}\leq \sum \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}  {a+b+2c}\leq \sum\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}=3$ 

Ta có điều phải chứng minh

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:

 $\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}\leq \frac{3}{4}$

Cho a,b,c $\geq0$ và a + b + c = 1. Chứng minh:
$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$

Ta có $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$ = $a + \sqrt{\frac{a}{2}.2b} +\sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c}\leq a+\frac{a}4+b+\frac{a}{12}+\frac{b}{3}+\frac{4c}{3}=\frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Cho a,b,c $\geq0$ và a + b + c = 1. Chứng minh:
$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}$

Mình giải bài của mình luôn
Ta có $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$

=> $2(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} + a + b + c$

=> VT $\geq (\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b)+(\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c)+(\frac{c^2-ca+a^2}{a}+a)$

=> VT $\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2} + 2\sqrt{b^2-bc+c^2} +2\sqrt{c^2-ca+a^2}$

Ta có điều phải chứng minh

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[]{a^2-ab+b^2}+\sqrt[]{b^2-bc+c^2}+\sqrt[]{c^2-ca+a^2}$

$B=\left | x^2-x+1 \right |+\left | x^2-x-2 \right |=\left | x-1-x^2 \right |+\left | x^2-x-2 \right |\geq \left | x-1-x^2+x^2-x-2 \right |=\left | -3 \right |=3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là 3 đạt tại $-1\leq x\leq 2$

Mình thấy cái giá trị của X bạn nó hơi lạ. Cách của mình thế này
 $\left | x^{2}-x+1 \right |+\left | x^{2}-x-2 \right |$=$\left | (x-\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \right |+ \left |(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4} \right |\geqslant \frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3$
Giá trị nhỏ nhất của B tại 3 khi x=$\frac{1}{2}$

 

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

bài này còn được viết với dạng tổng quá là: Cho một bảng vuông $n.n$ , mỗi một ô vuông ghi một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$ . Chứng minh không tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, trên hàng, trên đường chéo là các số khác nhau.