Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hoangvipmessi97

Đăng ký: 30-11-2016
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 00:19
-----

#741834 VMO 2020-2021 Ngày 2

Gửi bởi hoangvipmessi97 trong 01-01-2021 - 22:57

Hình phần b khá căng

Hình phần a là tính chất điểm Humpty quen thuộc

Có một bạn từng thi kết quả rất cao IMO, hiện đã du học ở Hoa Kỳ, đã có phát biểu như sau (mình trích lược) - về câu 7b:
"Mình có một cách tiếp cận cho bài 7b bằng một tính chất của phép nghịch đảo đối xứng. Tính chất đó là nếu ta xét phép nghịch đảo đối xứng tâm $A$, phương tích $AB.AC$ và đối xứng qua phân giác góc $BAC$ thì khi đó, nếu phép biến hình này biến đường tròn $(I)$ đi qua $B,C$ thành đường tròn $(J)$ đi qua $B,C$, thì $AI,AJ$ đẳng giác trong góc $BAC$."

Không biết ý kiến mọi người thế nào ạ?




#741743 VMO 2020-2021 Ngày 2

Gửi bởi hoangvipmessi97 trong 26-12-2020 - 11:57

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 5 
(6,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = a_{21}x^{21} + a_{20}x^{20} + .. +a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left | a_{k-2}- a_k \right | \leq c$ với mọi $k \in \left\{ 0,1,...,19 \right \}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \left ( a_{2k+1} - a_{2k} \right ) ^2 \leq 440c^2$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).

a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?

b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kỳ không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.

c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thoả mãn các điều kiện ở câu b).

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Cho $BG,CG$ lần lượt cắt $CD,BD$ tại $E,F$.

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $BE$ và $CF$ lần lượt cắt $BF,CE$ tại $M,N$. Chứng minh rằng các điểm $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Cho $AD,AG$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBC, GBC$ tại $H,K$. Trung trực của $HK,HE,HF$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,P,Q$. Chứng minh rằng các điểm $R,P,Q$ thẳng hàng.

 

- HẾT-

Hình gửi kèm

  • 133219717_744158923200676_1226134734466789534_n.png



#741721 VMO 2020-2021 Ngày 1

Gửi bởi hoangvipmessi97 trong 25-12-2020 - 11:56

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1
(5,0 điểm)

Cho dãy số thực $\left ( x_n \right )$ có $x_1 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$ và $x_{n+1}=3x_n^2-2nx_n^3$ với mọi $n \geq 1$.

a) Chứng minh $\lim{x_n}=0$.

b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2x_2+...+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $\left ( y_n \right )$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$f(x)f(y)=f(xy-1)+xf(y)+yf(x) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC, EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.

a) Chứng minh rằng $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PE,QF,AK$ đồng quy.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.

a) Chứng minh rằng $s(n)= \dfrac{n}{2} \left (n+1- \varphi (n) \right )$, trong đó $\varphi (n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thoả mãn $s(n)=s(n+2021)$.
 
 
- HẾT -
 
(Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN)



#668769 Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hoặc phân kỳ

Gửi bởi hoangvipmessi97 trong 18-01-2017 - 16:27

Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hoặc phân kỳ của các chuỗi sau:

a) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n. \sin (2n)}{2^n + 1}$

b)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{7^n}. \left ( 1 + \frac{2}{n} \right ) ^{n^2}$

c)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}.(n!)^3}{(3n)!}$

d) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 6}$