hoangvipmessi97

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 5 (6,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = a_{21}x^{21} + a_{20}x^{20} + .. +a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left | a_{k-2}- a_k \right | \leq c$ với mọi $k \in \left\{ 0,1,...,19 \right \}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \left ( a_{2k+1} - a_{2k} \right ) ^2 \leq 440c^2$.

Bài 6 (7,0 điểm)

Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).

a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?

b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kỳ không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.

c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thoả mãn các điều kiện ở câu b).

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Cho $BG,CG$ lần lượt cắt $CD,BD$ tại $E,F$.

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $BE$ và $CF$ lần lượt cắt $BF,CE$ tại $M,N$. Chứng minh rằng các điểm $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Cho $AD,AG$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBC, GBC$ tại $H,K$. Trung trực của $HK,HE,HF$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,P,Q$. Chứng minh rằng các điểm $R,P,Q$ thẳng hàng.

- HẾT-

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (5,0 điểm)

Cho dãy số thực $\left ( x_n \right )$ có $x_1 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$ và $x_{n+1}=3x_n^2-2nx_n^3$ với mọi $n \geq 1$.

a) Chứng minh $\lim{x_n}=0$.

b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2x_2+...+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $\left ( y_n \right )$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$f(x)f(y)=f(xy-1)+xf(y)+yf(x) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC, EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.

a) Chứng minh rằng $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PE,QF,AK$ đồng quy.

Bài 4 (5,0 điểm)

Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.

a) Chứng minh rằng $s(n)= \dfrac{n}{2} \left (n+1- \varphi (n) \right )$, trong đó $\varphi (n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.

2019 điểm nằm bên trong một hình lập phương có độ dài cạnh bằng 9.
Tồn tại hay không 2 điểm bất kỳ có khoảng cách nhỏ hơn:
a) 1? 
b) $\dfrac{1}{4}$?
(cải biên lại đề từ Problem 841, trang 288, sách Putnam and Beyond, 2007)

Ngày thi 21/01/2018
Thời gian 90 phút
Câu 1: Với giá trị $x \in \mathbb{R}$ nào thì giới hạn $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n} \left ( 1+ x^{3^k} + x^{2.3^k} \right )$ tồn tại hữu hạn?

Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ thoả mãn các điều kiện sau:

           i) $f(1)=a>0$

           ii) $f(x+1)=2001(f(x))^2 + f(x), \ \forall x \in [1; + \infty)$

Tìm $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left [ \dfrac{f(1)}{f(2)} + \dfrac{f(2)}{f(3)} + ... + \dfrac{f(n)}{f(n+1)} \right ]$

Câu 3: Cho hàm $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0; + \infty)$, có đạo hàm liên tục trên $(0; + \infty)$ và thoả mãn $f(0)=1; \ \left | f(x) \right | \leq e^{-x}, \forall x \geq 0$. Chứng minh rằng, tồn tại $x_0 > 0$ để $f'\left ( x_0 \right ) = -e^{-x_0}$

Câu 4: Một chất điểm xuất phát từ trạng thái đứng yên, chuyển động trên đường thẳng với gia tốc giảm dần. Khi đi được quãng đường $d$ nó đạt vận tốc $v$. Tìm thời gian chuyển động cực đại.

Câu 5: Cho $f(x)$ khả vi liên tục trên $[0;1]$; $f(0)=0; \ f(1)=1$. Chứng minh rằng với mọi $k_1,k_2>0$, $\exists x_1,x_2: \ 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 1$ sao cho $\displaystyle \dfrac{k_1}{f'\left ( x_1 \right )} + \dfrac{k_2}{f'\left ( x_2 \right )} = k_1 + k_2$.

Câu 6: Cho $f(x)$ khả vi trên $(a,b)$; $f(a)=0$ và tồn tại $A \geq 0; \ \alpha \geq 1$ sao cho $\left | f'(x) \right | \leq A \left | f(x) \right |^{\alpha}, \ \forall x \in [a,b]$. Chứng minh rằng $f(x) \equiv 0$ trên $[a,b]$.

Câu 7: Cho đa thức $P(x)$ thoả mãn điều kiện $P(a) = P(b) = 0$ với $a<b$. Đặt $\displaystyle M = \max_{a \leq x \leq b} \left | P''(x) \right |$. Chứng minh rằng $\displaystyle \left |\int_{a}^{b} P(x) dx  \right | \leq \dfrac{1}{12}M(b-a)^3$.

Câu 8: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;2]$, có đạo hàm trên $(0;2)$ và thoả mãn $f(0)=f(2)=1, \ \left | f'(x) \right | \leq 1, \ \forall x \in [0;2]$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx  >1$.

Câu 9: Xét đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(0) = P(1) = 0; \ \displaystyle \int_{0}^{1} \left | P(x) \right | dx = 1$. Chứng minh rằng $\left | P(x) \right | \leq \dfrac{1}{2}, \ \forall x \in [0;1]$.

Câu 10: Cho $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ thoả $f(1)-f(0)=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx \geq 1$.

- HẾT -

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: (mỗi câu là riêng biệt) $\forall x,y \in \mathbb{R}$
1. $f(f(x) f(y) - f(xy)) = \dfrac{1}{f(x)} + \dfrac{5}{f(y)}$ ($f:\mathbb{R}  \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}  \backslash \{ 0 \}$)
2. $7 f(xy) - 2 f(x)+ 8 f(x+y) = 5 f(x - y + xy)$
3. $\dfrac{9}{f \left ( f \left ( \dfrac{1}{xy} \right ) \right )} - \dfrac{2}{f(x)} = f(xy - x + y)$ ($f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ $)