hoangvipmessi97

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022-2023

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 27/09/2022

 

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi trên đoạn $[1;2]$ sao cho $a^2+b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4 \left ( \dfrac{bc^2}{a+b} +\dfrac{ca^2}{b+c} + \dfrac{ab^2}{c+a} \right )+ab+bc+ca$.

b) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn: $P(1+ \sqrt[3]{3})=2 \sqrt[3]{3}+4$ và $P(2+ \sqrt{6})=3+ \sqrt{6}$?

 

Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1;u_{n+1}=u_n+ \dfrac{2}{u_n} + \dfrac{n}{u_n^4}$ với mọi $n$ nguyên dương. 

Chứng minh dãy số $(y_n)$ với $y_n= \dfrac{u_n}{ \sqrt{n}}$ ($n$ nguyên dương) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF$. Tia $IH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KBF,KCE$ cắt nhau tại $T$ khác $K$. Gọi $M$ là trung điểm $TD$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MN$ của đường tròn $(I)$ ($N$ là tiếp điểm khác $D$).

a) Chứng minh $T,E,F$ thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ tiếp xúc $(I)$.

b) $AN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ ở $S$ khác $N$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ kẻ từ $S$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song với nhau.

 

Bài 4 (2,0 điểm). Kí hiệu $\mathbb{R^+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ sao cho với mọi số thực dương $x,y$ thì $f(x+f(y))=yf(1+xy)$.

 

Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ và $n$ cùng lớn hơn 1 sao cho $a^n-1$ chia hết cho $n^a$.

 

Bài 6 (3,0 điểm). Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là 2023 được chia thành $2023^2$ ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu $(m,n)$ là ô ở hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Người ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối xứng qua đường thẳng $AC$ thì được tô khác màu. Gọi $S$ là tập hợp các bộ ba số $m,n,p$ đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); $m,n,p \in \{ 1;2;3;...;2023 \}$ sao cho các ô $(m,n), \ (n,p)$ và $(p,m)$ có cùng màu. Kí hiệu $|S|$ là số phần tử tập hợp $S$.

a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho $|S|=0$?

b) Chứng minh rằng: $|S| \leq 1^2+2^2+...+1011^2$.

 

HẾT

 

Ngày thi thứ nhất

Bài 1: Ngân hàng Oslo có phát hành hai loại tiền xu: đồng vàng (kí hiệu bởi A) và đồng bạc (kí hiệu bởi B). Mai có $n$ đồng vàng và $n$ đồng bạc được sắp xếp thành một dãy tùy ý. Một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp thuộc cùng một loại được gọi là một chuỗi. Với số nguyên dương cố định $k \leq 2n$, Mai thực hiện liên tiếp các bước chuyển như sau: cô ta xác định chuỗi dài nhất có chứa đồng xu thứ $k$ từ bên trái và chuyển tất cả các đồng xu của chuỗi này về phía trái của hàng. Ví dụ, nếu $n=4$ và $k=4$, bắt đầu với cách xếp AABBBABA, quá trình thực hiện các bước chuyển như sau:

AABBBABA $\rightarrow$ BBBAAABA $\rightarrow$ AAABBBBA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ ...

Xác định tất cả các cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mọi cách sắp xếp ban đầu, đến một lúc nào đó trong quá trình thực hiện các bước chuyển, $n$ đồng xu ở bên trái của hàng sẽ thuộc cùng một loại.

 

Bài 2: Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{R}^+$ có đúng một giá trị $y \in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn

$xf(y)+yf(x) \leq 2$.

 

Bài 3: Cho $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Mi muốn xếp các phần tử của $S$ quanh một vòng tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kì có thể biểu diễn được dưới dạng $x^2 + x + k$ với $x$ nguyên dương nào đó. Biết rằng, hai cách xếp nhận được từ nhau qua phép quay và phép phản chiếu (đối xứng trục) được coi là như nhau. Chứng minh rằng Mi có nhiều nhất một cách xếp như vậy.

 

 

Ngày thi thứ hai

Bài 4: Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ với $BC=DE$. Giả sử rằng có một điểm $T$ nằm trong $ABCDE$ sao cho $TB=TD,\ TC=TE$ và $\angle ABT=\angle TEA$. Đường thẳng $AB$ cắt các đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$, trong đó các điểm $P,B,A,Q$ nằm theo thứ tự trên đường thẳng. Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $CD$ và $DT$ lần lượt tại các điểm $R$ và $S$, trong đó các điểm $R,E,A,S$ nằm theo thứ tự trên đường thẳng. Chứng minh rằng các điểm $P,S,Q,R$ nằm trên một đường tròn.

 

Bài 5: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a,b,p)$ với $p$ nguyên tố và

$a^p=b!+p$.

 

Bài 6: Cho số nguyên dương $n$. Một cao nguyên Nordic là một bảng $n \times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô vuông chứa đúng một số. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung. Ô vuông chỉ kề với các ô vuông chứa số lớn hơn số nằm trong đó được gọi là một thung lũng. Một con đường dốc là một dãy các ô vuông (có thể chỉ gồm một ô) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(i) Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng,

(ii) mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với ô vuông đứng trước nó,

(iii) các số được viết trên các ô vuông trong dãy có giá trị tăng dần.

Như là một hàm số của $n$, xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số con đường dốc trong một cao nguyên Nordic.

Ngày thi thứ nhất (26/04/2022)

Thời gian: 270 phút

Bài 1: Cho số thực $\alpha$ và xét hàm số $\varphi (x)=x^2 e^{ \alpha x}$ với $x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$f( \varphi (x)+f(y))=y+ \varphi (f(x))$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

 

Bài 2: Cho một khối đa diện lồi $2022$ mặt. Trên ba mặt nào đó của nó, có sẵn các số $26, 4$ và $2022$ (mỗi mặt có đúng một số). Người ta muốn điền vào mỗi mặt còn lại một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng mình rằng tồn tại duy nhất một cách điền như vậy.

 

Bài 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Xét điểm $G$ bên trong tam giác $IAB$ sao cho $\widehat{IAG} = \widehat{IBG}=45^o - \dfrac{ \widehat{AIB}}{4}$. Ký hiệu $E,F$ tương ứng là hình chiếu của $C$ lên $AG$ và của $D$ lên $BG$. Trung tuyến đỉnh $E$ của tam giác $BEF$ và trung tuyến đỉnh $F$ của tam giác $AEF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh rằng $AF, BE$ và $IH$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy đó là $L$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $CE$ và $DF$. Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $LAB$ và $M,N$ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $EIJ$ và $FIJ$. Chứng minh rằng $EM,FN$ và đường thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $GAB,KCD$ thì đồng quy. 
 

Ngày thi thứ hai (27/04/2022)

Thời gian: 270 phút

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $O$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ theo thứ tự tại $E, F$. Gọi $D,G$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.

a) Chứng minh rằng các điểm $D,G,K$ thẳng hàng.

b) Trên các đường thẳng $KB,KC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $IM \perp AC$ và $IN \perp AB$. Trung trực của $IK$ cắt $MN$ tại $H$. Giả sử $IH$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ thì cắt lại $(O)$ tại một điểm thuộc đường thẳng $AI$.

 

Bài 5: Một số hữu tỉ $x$ được gọi là "đẹp" nếu nó có thể biểu diễn hữu hạn trong hệ cơ số $b$ với $b$ là số nguyên dương thuộc $[2;2022]$. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $n \geq 4$ sao cho với mọi $m$ nguyên dương thuộc khoảng $\left ( \dfrac{2n}{3};n \right)$ thì trong hai số $\dfrac{m}{n-m}$ và $\dfrac{n-m}{m}$, có ít nhất một số đẹp.

 

Bài 6: Cho tập hợp $A= \{ 1;2;...;4044 \}$. Người ta tô màu $2022$ phần tử trong $A$ bởi màu trắng và $2022$ phần tử còn lại bởi màu đen. Với mỗi số $i \in A$, ta gọi "trọng số" của $i$ là số lượng của các số được tô màu trắng nhỏ hơn $i$ và các số được tô màu đen lớn hơn $i$. Với mỗi số tự nhiên $m$, hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại cách tô màu tập hợp $A$ để có đúng $k$ số có trọng số đúng bằng $m$.

Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi

$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.

a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn

$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.

a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;

ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.

 

 

Ngày thi thứ hai (05/03/2022)

Thời gian: 180 phút

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá $2021$ và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn $2021$. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0$ ($p,q \in \mathbb{Z}$; $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n) - P(n)$ với mọi $n=1,2,...,2021$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i \ (1 \leq x_i \leq 6)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i$ $(i=1,2,3,4)$.

a) Tính số các bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.

b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ bằng tổng của ba số còn lại.

c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ($BC$ không đi qua tâm $O$) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $ \stackrel\frown{BC}$  sao cho $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$, $L$ là giao điểm của $I_a D$ với $OI$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $DE$ song song với $AI$.

a) Đường thẳng $LE$ cắt đường thẳng $AI$ tại $F$. Chứng minh rằng $AF=AI$.

b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a BC$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $AD$, $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $MN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021-2022

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 24/11/2021

 

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức có bậc không quá $2020$ và thoả mãn $x^{2021}.P(x)+(x-2)^{2021}.Q(x)=1, \ \forall x \in \mathbb{R}$. Tính $Q(1)$.

b) Tìm tất cả bộ ba số thực dương $(x,y,z)$ thoả mãn hai điều kiện $xy+yz+zx+xyz=4$ và $\sqrt{2(4-xy)}+ \sqrt{5(4-yz)}+ \sqrt{10(4-zx)}=12$.

 

Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=0, \ x_2=1$ và $x_{n+2}= \dfrac{x_n +1}{x_{n+1}+x_n+2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O_1$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $BC$. $AO_1$ cắt $BC$ tại $L$, $DE$ cắt $HC$ tại $M$, $DF$ cắt $HB$ tại $N$.

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ và đường tròn đường kính $AL$ tiếp xúc với nhau.

b) Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn đường kính $AL$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $KH=KD$.

 

Bài 4 (5,0 điểm).

a) Cho hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f(x+y) \geq f(x)+y.f(f(x))$ với mọi số thực $x,y$. Chứng minh rằng $f(0) \leq 0$.

b) Cho các số nguyên dương $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh tồn tại số nguyên $n$ sao cho $a+n, \ b+n, \ c+n$ là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

 

Bài 5 (3,0 điểm). Trên mặt phẳng ta vẽ 3333 đường tròn đôi một khác nhau và có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng luôn chọn ra được trong số đó 34 đường tròn mà các đường tròn này đôi một có điểm chung hoặc đôi một không có điểm chung.

 

- HẾT -

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

 

Nguồn:

1. Thầy Quang Vinh, GV Toán - THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bà Rịa - Vũng Tàu);

2. Group Hướng tới Olympic Toán VN

 

 260294342_584939452607778_3199545060467827526_n.jpg   93.01K   50 Số lần tải