LoveMath1234

Ta có $\frac{sin^6x+cos^6x}{cos^2x-sin^2x}=m.tan2x$

$\Leftrightarrow \frac{1-3sin^2x.cos^2x}{cos2x}=m.tan2x$

$\Rightarrow 1-\frac{3}{4}.sin^22x=m.sin2x$

$\Leftrightarrow \frac{3}{4}.sin^22x+msin2x-1=0$

Đến đây thì đơn giản rồi, chỉ cần tìm m để phương trình có nghiệm $sin2x$ thuộc khoảng $(-1;1)$ (bằng cách dùng $\Delta$ và định lí Viète)

Phần trước mình cũng làm đến đấy rồi. Bạn làm rõ phần sau được ko?

Link: https://www.artofpro...6h164533p915981

E nghĩ nếu đề bên AoPS là a,b,c,d,e không âm thì max t phải là $t= \frac{\sqrt{2}}{4}$ chứ ạ? (Dấu "=" tại a=c=e=0; b=d)

Anh thử xem lại xem

Cho  a,b thực dương thỏa mãn : ab+a+b=3. CMR: $\frac{3a}{a+b}+\frac{3b}{a+b}+\frac{ab}{a+b}\geq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2}$

BĐT sai với $a=\frac{1}{2};b=\frac{5}{3}$

Xin làm lại ...

 

Từ $a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq 1$

 

a) Có : $\sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow VT-(a+b+c)\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-(a+b+c)$

$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geq 3$

 

b) Dễ dàng CM : $\sum \frac{a^3}{b+c}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^3}{b+c}+a^2 \right )\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2}\Leftrightarrow VT(a+b+c)\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2}$

$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

-------------------------

 

Dấu bằng khi a=b=c=1

Tại sao có cái này vậy?

Bài 1: Ta có: $\sum \frac{c}{1+ab}=\frac{\sum c(1+ac)(1+bc)}{(1+ab)(1+ac)(1+bc)}$.

Mà $\sum c(1+ac)(1+bc)=\sum a+\sum a^2b+\sum ab^2+abc\sum a^2=\sum a+\sum a^2b+\sum ab^2+abc$.

$\prod (1+ab)=1+a^2b^2c^2+\sum bc+\sum ab^2$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum a+\sum a^2b+abc\ge 1+a^2b^2c^2+\sum ab^2$.

Thật vậy: Do $a^2+b^2+c^2=1\implies a,b,c\in [0;1]\implies \left\{\begin{matrix} \sum a(a-1)(b-1)\ge 0\\abc\ge a^2b^2c^2  \end{matrix}\right.$.

$\iff \left\{\begin{matrix} \sum a+\sum a^2b\ge \sum a^2+\sum ab(1)\\abc\ge a^2b^2c^2(2)  \end{matrix}\right.$.

Cộng $(1),(2)$ vế theo vế ta có ĐPCM.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(1;0;0)$ và các hoán vị.

 

Chỗ màu đỏ phải là $abc^{2}+bca^2+acb^2$ chứ ?