Tìm kiếm
Nam
Vì bài 33 chưa có link nên mình giải luôn ở đây:
Gọi S là điểm đối xứng A qua O.
Ta có $\angle TBN=\angle TAC=\angle TMC$ và $\angle TNB=\angle TAB=\angle TCM$ suy ra $\Delta TBN\sim\Delta TMC$.
Gọi phân giác trong góc A cắt (O) tại J. Đường thẳng qua J vuông góc JA cắt AB, AC lần lượt tại P,Q. Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu của B, C lên AJ.
Ta có $\frac{PB}{CQ}=\frac{PB}{BA}.\frac{BA}{AC}.\frac{AC}{CQ}=\frac{JB'}{B'A}.\frac{BA}{AC}.\frac{AC'}{C'J}=\frac{JB'}{JC'}=\frac{JB.\cos C}{JC.\cos B}=\frac{SB}{SC}$
suy ra $\Delta SBP\sim\Delta SCQ$
Gọi X,Y là tâm ngoại tiếp đường tròn (ABN) và (ACM) thì $XY\perp AT$. Do đó AT đi qua O khi và chỉ khi AO vuông góc với XY, khi và chỉ khi $\Delta TMC\sim\Delta SBC$, khi và chỉ khi $\frac{TM}{TC}=\frac{SB}{SC}$.
Mà $\frac{TM}{TC}=\frac{BM}{CN}$
$\frac{SB}{SC}=\frac{BP}{CQ}$
Do đó $AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $\frac{BM}{CN}=\frac{BP}{CQ}$.
Áp dụng bổ đề E.R.I.Q, điều kiện trên tương đương với trung điểm $MN, BC, PQ$ thẳng hàng hay $K$ thuộc trung trực $BC$.
( Chứng minh chi tiết bổ để E.R.I.Q tham khảo
