Tìm kiếm
Nam
Bài 2, c:
Ta sẽ cmr tất cả các số $k$ cần tìm là các bội dương của $6$. Cm gồm 2 phần:
- Điều kiện cần: Ta sẽ cmr $x^k-y^k$ chia hết cho $9$ với mọi $x,y$ dương không là bội của $3$ và $k$ là bội của $6$. Thật vậy, vì $x,y$ nguyên tố cùng nhau với $9$ nên theo định lý Euler, ta có $\varphi(9)=6$ thì $x^6\equiv y^6\equiv 1$ (mod $9$). Vậy $x^6-y^6$ chia hết cho $9$. Ta có $k$ chia hết cho $6$, do đó $x^k-y^k$ chia hết cho $x^6-y^6$, từ đó suy ra điều cần cm.
- Điều kiện đủ: Ta sẽ chứng minh rằng ngoài các bội của $6$, $k$ không thể nhận các giá trị khác. Thật vậy, nếu $k\equiv r$ (mod $6$) ($r=1,2,\dots ,5$) thì thay $x=2,y=1$ ta có $2^k-1=(2^6)^{\frac{k-r}{6}}\cdot 2^r-1\equiv 2^r-1$ (mod $9$). Thay lần lượt $r=1,2,\dots 5$ thì ta có $2^r-1$ đồng dư với $1,3,7,6,4$ mod $9$, do đó các giá trị khác của $k$ đều không thỏa mãn.
Vậy ta kết luận các giá trị $k$ phải tìm là các bội của $6$.
bn ơi lp 9 chưa hk định lý Euler nên khi thi ko đk sử dụng. Vậy bn có cách khác ko?hihi
