Lyness

Câu 3a chứng minh MN là trục đẳng phương của đường tròn Euler cảu tam giác ABC và (O).

Câu 3b gọi T là trung điểm BC

Ta có (T) và (I) trực giao

Suy ra Rh là đường đối trung của tam giác REF ( R, H, T thẳng hàng )

$\widehat{FRH}=\widehat{FAH}=\widehat{OAE}=\widehat{SRE}$

Suy ra RT và RS đẳng giác trong tam giác REF hay RS qua trung điểm EF

CI là đường đối trung của CEF do (I) và (T) trực giao

Dễ có F,I,D,C đồng viên

$\widehat{FCI}=\widehat{QDA}=\widehat{QCA}$

Suy ra CI và CQ là 2 dường đẳng hiacs trong tam giác CEF là CQ đi qua trung điểm EF

Tương tự với BP. Suy ra RS, BP, CQ đồng quy tại trung điểm EF.

Cộng vế theo vế của hpt ta đc:$x^4-x^2+x^2y^2+xy=0$

$\Leftrightarrow x^2(x^2-y^2)-x(x-y)=0\Leftrightarrow x(x-1)(x-y)=0$

Tự giải tiếp nhé!Mình ko chắc lắm bạn xem lại..

Hình như sai rồi bạn.

Từ giả thiết bạn chứng minh $x+y+z\geq 3$

$\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\sum x-\frac{1}{2}\sum \frac{xy^{2}}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{2} \sum x-\frac{1}{4}\sum \frac{xy^{2}}{xy}=\frac{1}{4}\sum x\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Sai rồi bạn ơi

Nhận thấy x,y=0 không phải là nghiệm của pt. Chia cả 2 vế cho xy. Khi đó phương trình trở thành $\frac{4\sqrt{y-4}}{y}+\frac{4\sqrt{x-1}}{x}=3$

Bạn chứng minh 2 bất đẳng thức sau ( dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương nên mình không chứng minh ở đây) $\frac{4\sqrt{y-4}}{y}\leq 1;\frac{4\sqrt{x-1}}{x}\leq 2$

Vậy (x,y)=(2;8)