Đến nội dung


Lyness

Đăng ký: 15-12-2016
Offline Đăng nhập: 25-03-2017 - 07:28
-----

#667061 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi Lyness trong 05-01-2017 - 12:26

Câu 3a chứng minh MN là trục đẳng phương của đường tròn Euler cảu tam giác ABC và (O).

Câu 3b gọi T là trung điểm BC

Ta có (T) và (I) trực giao

Suy ra Rh là đường đối trung của tam giác REF ( R, H, T thẳng hàng )

$\widehat{FRH}=\widehat{FAH}=\widehat{OAE}=\widehat{SRE}$

Suy ra RT và RS đẳng giác trong tam giác REF hay RS qua trung điểm EF

CI là đường đối trung của CEF do (I) và (T) trực giao

Dễ có F,I,D,C đồng viên

$\widehat{FCI}=\widehat{QDA}=\widehat{QCA}$

Suy ra CI và CQ là 2 dường đẳng hiacs trong tam giác CEF là CQ đi qua trung điểm EF

Tương tự với BP. Suy ra RS, BP, CQ đồng quy tại trung điểm EF.

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG



#665954 TÌm min P $\frac{x^3}{(y+z)^2}+\frac{...

Gửi bởi Lyness trong 26-12-2016 - 22:14

Từ giả thiết bạn chứng minh $x+y+z\geq 3$

$\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\sum x-\frac{1}{2}\sum \frac{xy^{2}}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{2} \sum x-\frac{1}{4}\sum \frac{xy^{2}}{xy}=\frac{1}{4}\sum x\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1




#665367 GPT: $4x\sqrt{y-4}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

Gửi bởi Lyness trong 21-12-2016 - 17:58

Nhận thấy x,y=0 không phải là nghiệm của pt. Chia cả 2 vế cho xy. Khi đó phương trình trở thành $\frac{4\sqrt{y-4}}{y}+\frac{4\sqrt{x-1}}{x}=3$

Bạn chứng minh 2 bất đẳng thức sau ( dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương nên mình không chứng minh ở đây) $\frac{4\sqrt{y-4}}{y}\leq 1;\frac{4\sqrt{x-1}}{x}\leq 2$

Vậy (x,y)=(2;8)




#665362 Giải hệ phương trình

Gửi bởi Lyness trong 21-12-2016 - 17:45

Từ $(1)\Rightarrow x+y=1-z$

(2)\Rightarrow z^2-2z+1-2xy=0\Rightarrow (x+y)^2-2xy=0\Rightarrow x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow z=1




#665315 chứng minh rằng:$2\sqrt{ab}\leq a+b$

Gửi bởi Lyness trong 21-12-2016 - 04:47

Gọi M là trung điểm BC.$AH=\sqrt{ab},AM=\frac{a+b}{2},AM\leq AH\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}$




#665197 Tính số đo góc A của tam giác biết rằng khoảng cách từ A đến trực tâm của tam...

Gửi bởi Lyness trong 20-12-2016 - 06:13

Gọi H là trực tâm, M là trung điểm BC. Một tính chất quen thuộc R=AH=2OM. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OBM tính được góc BOC suy ra góc A




#664812 Chứng minh các Bất đẳng thức sau

Gửi bởi Lyness trong 16-12-2016 - 19:03

1/ Chia hai vế BĐT cho $\sqrt{2abc}$

Ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{2ab}}\geq \sum \sqrt{\frac{2\sqrt{ab}}{2ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt[4]{ab}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt[4]{ab}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a+b+c)}}=3$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1




#664797 Chứng minh rằng O là trung điểm của MN

Gửi bởi Lyness trong 16-12-2016 - 16:46

Gọi I là trung điểm BC.

Khi đó O,I,D,E thuộc đường tròn đường kính OE.

Ta có $\widehat{OCM}=\widehat{DAI},\widehat{COM}=180^{0}-\widehat{DOE}=180^{0}-\widehat{DIE}=\widehat{AID}\Rightarrow \bigtriangleup AID\sim \bigtriangleup COM$

Suy ra $\frac{CO}{OM}=\frac{AI}{ID}\Rightarrow OM=\frac{CO.ID}{AI}$

Tương tự $\bigtriangleup CON\sim \bigtriangleup BID\Rightarrow \frac{CO}{ON}=\frac{BI}{ID}\Rightarrow ON=\frac{CO.ID}{BI}$

Suy ra đpcm




#664737 bài toán hình học hay chưa có lời giải.

Gửi bởi Lyness trong 15-12-2016 - 20:58

Xét trường hợp như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Gọi K là giao điểm của EF với phân giác góc A.

Ta có $\widehat{FKI}=180^{0}-\widehat{EAK}-\widehat{KEA}=180^{0}-\frac{\widehat{A}}{2}-(90^{0}+\frac{\widehat{B}}{2})=\frac{\widehat{C}}{2}=\widehat{ICF}$

Suy ra F,I,K,C đồng viên.

Suy ra $\widehat{IKC}=\widehat{IFC}=90^{0}$

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG