Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


SonKHTN1619

Đăng ký: 16-12-2016
Offline Đăng nhập: 30-01-2017 - 14:25
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: VMF's Marathon Hình học Olympic

30-01-2017 - 10:01

Bài 159 anh Hoàng cho đề bị nhầm ở chỗ là N là giao của AD với (DMC). Em xin sửa lại đề như sau:

$\boxed {Bài 159: (Mathlinks) }$

Cho $\Delta ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D,E,F. AD$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai $M.$ Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $D$ của $DF$ với $(CDM), G$ là giao của $CN$ và $AB$. Tính $\frac{CD}{FG}$

Lời giải cho bài 160:

$X\equiv EF\cap CN => (XN,GC)=-1$ (1)
Do đó, $\frac{XG}{XC}=\frac{NG}{NC}$
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta BGC$, ta có:
$\frac{FG}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{NC}{NG}=1=>\frac{FG}{CD}=\frac{NG}{NC}$
$\angle NCM=\angle NDM=\angle XEM$
$=>MECX$ là tứ giác nội tiếp.
$=>\angle MXC=\angle AEM=\angle ADE$ và $\angle XMN=\angle EDC$
$=>\frac{NX}{NC}=\frac{sin(\angle XMN)}{sin(\angle CMN)}.\frac{sin(\angle MCX)}{sin(\angle MXC)}=\frac{sin(\angle CDE)}{sin(\angle BDF)}.\frac{sin(\angle FDA)}{sin(\angle ADE)}=1$
$=>NX=NC$ (2)
(1), (2) $=>(NG,XC)=2=>\frac{GX}{GC}=\frac{1}{2}=>\frac{CD}{FG}=\frac{NC}{NG}=3 (q.e.d)$
Em xin đề nghị bài khác để duy trì 2 bài của topic: 
$\boxed {Bài 161: (Mở\:  rộng\:  từ\:  bài\: toán\: trên\: THTT\: của\: Tạ\: Hồng\: Sơn)}$
Cho $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I.$ 
Kí hiệu $\omega ,\omega _1, \omega _2$ lần lượt là các đường tròn $(IBC)$, $I-Mixtilinear$ của $\Delta IAB$ và $\Delta IAC$.
Gọi $\Gamma $ là đường tròn tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn trên.
CMR $\Gamma $ tiếp xúc $\omega $ tại $I.$
 

Trong chủ đề: Tuần 5 tháng 1/2017: $AR$ và trung trực $MN$ cắt nhau...

30-01-2017 - 09:21

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Cho $\Delta ABC $, phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.$
$X,Y,Z$ thuộc $EF,FD,DE. X,A_1$ trên $EF,BC$ sao cho $I, A_0, X$ thẳng hàng và $IX⊥BC.$
Khi đó, $AA_0, AX$ là hai đường đẳng giác. 
Chứng minh:
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
$AD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $A_1, A_2$ đối xứng $A_1$ qua $O.$
$EF ∩ BC ≡ S, A_0A_2 ∩ OI ≡ A_3, IX ∩ AA_2 ≡ A_4, IS ∩ AB ≡ A_5$
$A_2(IA,XA_3)=(IA_4,XA_0)=S(A_5A,FB)=I(A_5A,FB)=(SD,BC)=I(A_2A_1,XO)=(A_2A,XA_3)$
$=>A,X,A_3$ thẳng hàng.
$=>A_0, AX$ là hai đường đẳng giác (q.e.d).
Quay trở lại bài toán:  
Đoạn $AD,AR$ cắt (I) lần lượt tại $L,G.$
Áp dụng bổ đề, ta có $L, G$ đối xứng qua $AI.$
$AI ∩ (I) = {J,S} => SE = SF$
$AM // JE, AN // JF$
$=>$ Ta có biến đổi góc sau:
$∠MAN+∠MDN = ∠BAC+∠NAF +∠MAE + ∠EDF = ∠BAC + ∠AEJ + ∠AFJ + ∠EDF = ∠BAC + 2∠EDF = 180°$
$=> AMDN$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\omega .$ 
Từ đó ta có biến đổi tỉ số:
$\frac{FN}{AF}=\frac{sin(∠NAF)}{sin(∠AND)}=\frac{sin(∠MAE)}{sin(∠AMD)}=\frac{EM}{AB} => FN=EM$
Mặt khác, $∠NFS = 180-∠SFD = 180-∠SED = ∠MES$
$=>\Delta MES = \Delta NFS => SM=SN.$ (1)
Gọi $K,T$ lần lượt là giao của $MN, JG$ với $AB$.
Ta có biến đổi góc:
$∠ADE=∠LFE=∠GEF=∠TJF$
$=>∠AKM = ∠ANK+∠KAN = ∠ADE+∠AFJ = ∠AFJ+∠TJF=∠ATJ$
$=> JG // MN => SG ⊥ MN$ (2)
(1),(2) => $GM=GN$ (q.e.d)

Trong chủ đề: Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

09-01-2017 - 18:48

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?

X,Y,E,F không thẳng hàng đâu.


Trong chủ đề: Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

09-01-2017 - 18:46

Bài toán này là mở rộng của bài 7b VMO năm nay.
$ J≡BS∩CT,X≡AJ∩EF $
$=>(ST,AX)=(BC,AX), X,J$ cố định.
Áp dụng định lý Pascal cho $(\begin{array}{} A & S & T \\ P & C & B  \end{array})$, ta co $E,F,J$ thẳng hàng.
$D≡PX∩BC, G≡AP∩BC, \left\lbrace A,L \right\rbrace=AD∩(O)$
$P(AD,EF)=(AX,ST)=(AX,BC)=P(GD,BC)=A(GD,BC)=A(PD,EF)$
$=>D,E,F$ thẳng hàng.
$=>\overline{DP}.\overline{DX}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DQ}.\overline{DR}$
$=> (PQR)$ đi qua $X$ cố định.
$\left\lbrace X,Y \right\rbrace=(PQR)∩AJ$
$\overline{JY}=\frac{\overline{JP}.\overline{JQ}}{\overline{JX}}=\frac{\mathscr{P}_ J/(K)}{\overline{JX}}=  const$
$=>Y$ cố định (q.e.d)

Trong chủ đề: Đề Thi VMO năm 2017

06-01-2017 - 11:29

VMO ngày 2