Đến nội dung

SonKHTN1619

SonKHTN1619

Đăng ký: 16-12-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

#667204 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 05-01-2017 - 22:42

Một mở rộng cho câu 3a, tuy nhiên ý tưởng là khá lộ liễu.
Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $BE,CF$ là các đường cao, $H$ trực tâm. $AH$ cắt (O) tại điểm thứ hai $D$, $I$ trung điểm $AH$. $DB,DC$ cắt $EI,FI$ tại $M,N$. Gọi $S,T$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $NH$ với $(BNE)$,$MH$ với $(CMF)$. CMR $(AH)$, đường tròn đối xứng $(O)$ qua $BC$, $(HST)$ đồng trục.




#667191 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 05-01-2017 - 22:00

Giả sử tồn tại $P(x)$ thỏa mãn.

Do $x^3-2$ và $x^2-5$ lần lượt là các đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{2}$ và $\sqrt{5}$ nên ta có:

$x^3-2|P(x+1)-(x+1)$; (1)

$x^2-5|P(x+1)-(3x+2)$. (2)

Từ (1), tồn tại $Q(x)$ là đa thức hệ số nguyên sao cho $P(x+1)=(x+1)+(x^3-2)Q(x)$

Do đó,

(2)$\Leftrightarrow (5x-2)Q(x) \equiv 2x+1 (mod x^2-5)$

$\Leftrightarrow (5x-2)(5x+2)Q(x) \equiv (2x+1)(5x+2) (mod x^2-5)$

$\Leftrightarrow 121Q(x) \equiv 9x+52 (mod x^2-5)$

Với $x=-4, 0 \equiv 16 (mod 11)$, vô lý.

Do đó không tồn tại $P(x)$ thỏa mãn.

 




#665969 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 26-12-2016 - 23:24

Em xin đóng góp một lời giải ạ.

Hình gửi kèm

  • 15696731_1798957650370931_121821317_o.jpg



#665915 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 26-12-2016 - 18:59

Lời giải của em ạ:
Gọi $E, F$ là tiếp điểm của $(K)$ với $CA, AB\Rightarrow E, F, M$ thẳng hàng.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC, I$ là tâm nội tiếp $\triangle  ABC$
Ta có: $ (LP,LM) \equiv (AO,AK) \equiv (AI, AH) \equiv (ML,MP) \pmod \pi  $ $\Rightarrow  \triangle$ PLM cân tại P
Kẻ đường kính $AX$ của $(O)$.
$\Rightarrow (DL,DP) \equiv (LP,LD) \equiv (XA,XD) \pmod \pi $ $\Rightarrow PD$ là tiếp tuyến chung của $(K)$ và $(O)$.
$AD$ cắt $(K)$ tại điểm thứ hai $U, XL$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $U, G$ là cực của $XD$ với $(I)\Rightarrow G$ nằm trên $EF$.
XU vuông góc UA => A,U,F,K,E nằm trên (AK).
$ \overline{AI}.\overline{AK}=AE^{2}=\overline{AV}.\overline{AD} $
=>V,I,K,D thuộc cùng đường tròn $ \Gamma $ .
=> L là tâm đẳng phương của (AK), $ \Gamma $ và (K).
Kết hợp với (GL,FE)=-1, ta có
$ \overline{LI}.\overline{LG}=\overline{LE}.\overline{LF}=\overline{LT}.\overline{LK} $ => $G \in \Gamma $ và G,U,A thẳng hàng.
Kẻ tiếp tuyến AS của (O) với S nằm trên BC, T là giao của EF với DN. (D,N,X thẳng hàng)
=> $(AS,AD) \equiv (IS,ID) \equiv (UG,UD) \equiv (XA,XD) (mod \pi)$ => AT tiếp tuyến (O) => A,S,T thẳng hàng.
Dựng đường tròn (DMT).
$ (TA,TM) \equiv (AX,AJ) \equiv (DX,DJ) \equiv (DT,DM) (mod \pi ) $
=>ST tiếp xúc (DMT). (1)
$ (MS,MT) \equiv (AH,AI) \equiv (AJ,AX) \equiv (DJ,DX) \equiv (DM,DT) (mod \pi ) $
=>MS tiếp xúc (DMT). (2) 
Gọi W trung điểm AT => $WA^{2}=WT^{2}=WD^{2}$
=>PD là tiếp tuyến của (DMT). (3)
(1),(2),(3)=>(PS,MN)=-1
=>A(PS,QR)=(PS,MN)=-1
Kết hợp QR // AS, ta thu được P là trung điểm QR (q.e.d)
P/s: Anh Bảo sửa giùm em LaTeX với, em mới lần đầu dùng LaTeX trên diễn đàn nên chưa quen ạ, hi vọng mọi người đọc và hiểu được.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-26 18:58:56.png



#665066 Tuần 3 tháng 12/2016 : Đường tròn tiếp xúc

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 18-12-2016 - 22:15

Em cũng vừa nghĩ ra nhưng anh Bảo đăng lời giải nhanh quá, cách giống của em nhưng em vẫn đăng vậy.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-18 22:14:36.png



#664804 Tuần 2 tháng 12/2016 : Bài toán nội tiếp trên đường tròn tiếp xúc

Gửi bởi SonKHTN1619 trong 16-12-2016 - 18:05

Em xin đề xuất một hướng nhìn khác của bài toán.

Cho tam giác ABC, (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. (J) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm DE, DF, EM ,FN. PQ cắt BM, CN tại S,T. Chứng minh rằng B,C,S,T thuộc cùng một đường tròn tiếp xúc (J).

Chứng minh bài toán này hoàn toàn tương tự bài toán gốc.

Sau đây là chứng minh của em cho bài toán gốc.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-16 17:42:54.png
  • IMG_0535.JPG
  • IMG_0536.JPG