MetaHumanS

Hệ có vô số nghiệm khi $\frac{2}{a}=\frac{-a}{b}=\frac{b}{1}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-\sqrt[3]{4} &  & \\ b=-\sqrt[3]{2} &  & \end{matrix}\right.$

Su dung bat dang thuc Cauchy Schwart ta duoc

$1=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{1})^{2}}{a+b+c}$

$\Rightarrow a+b+c\geq (\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)^{2}$

-Đặt $\widehat{ABC}=x,\widehat{ACB}=y$;với $x,y \in(0^{\circ},180^{\circ})\Rightarrow x+y=120^{\circ}\Rightarrow y=120^{\circ}-x$ $ (*)$

- Áp dụng định lý hàm số sin ta có:

$\frac{a}{sin60^{\circ}}=\frac{b}{sinx}=\frac{c}{siny}$

-Với

+)$\frac{a}{sin60^{\circ}}=\frac{b}{sinx}=\frac{a+b}{sin60^{\circ}+sinx}$

+)$\frac{a}{sin60^{\circ}}=\frac{c}{siny}=\frac{a+c}{sin60^{\circ}+siny}$

$\Rightarrow \frac{a+b}{a+c}=\frac{sin60^{\circ}+sinx}{sin60^{\circ}+siny}= \frac{\sqrt{3}+2sinx}{\sqrt{3}+2siny}$ $(**)$

-Từ $(*)$,$(**)$ và đề ra ta có phương trình sau

 $\frac{\sqrt{3}+2sinx}{\sqrt{3}+2sin(120^{\circ}-x)}=2cosx-1$ (tự tìm điều kiện nha)

 $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}+2sinx}{\sqrt{3}+\sqrt{3}cosx+sinx}=2cosx-1$

 $\Leftrightarrow \sqrt{3}+2sinx=(2cosx-1)(\sqrt{3}+\sqrt{3}cosx+sinx)$

 $\Leftrightarrow (\sqrt{3}+2sinx)(cosx-\sqrt{3}sinx)=0$

 $\left\{\begin{matrix}sinx=\frac{-\sqrt{3}}{2} & \\ & \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

Vì $x \in(0^{\circ},180^{\circ}) \Rightarrow tanx=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=30^{\circ}\Rightarrow y=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{B}=30^{\circ}$ và $ \widehat{C}=90^{\circ}$

-Điều kiện $cosx\neq 0\Leftrightarrow x\neq\frac{\pi }{2}+k\pi $

-Ta có

+)     $ cos4x=1-2sin^{2}2x$

+)     $\frac{tanx}{tan^{2}x+1}=\frac{1}{2}.sin2x$

$\Rightarrow \frac{1}{2}cos4x+4\frac{tanx}{1+tan^{2}x}=-sin^{2}2x+2sin2x+\frac{1}{2}$

$a,$ Thay m=$\frac{1}{2}$ rồi giải bình thường.

$b,$ Đặt $t=sin2x$.

     Vì $x\in (0;\frac{\pi }{4})\Rightarrow 0< sin2x< 1\Rightarrow t\in (0;1)$

    Đến đây xét hàm số $f(t) =-t^{2}+2t+\frac{1}{2}$ với $ t\in (0;1)$ rồi giải bình thường nha!!!

Thu lien hop voi 2 nghiem $x=1\pm \sqrt{7}$ xem

Tìm số nguyên x để $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số chính phương.

-Để  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số chính phương thì  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1\geq 0 <=> x\geq 0$

-Nhận thấy $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số lẻ $=>$ Nếu $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là bình phương của 1 số thì nó là bình phương của 1 số lẻ

-Giả sử $4x^{3}+4x^{2}+4x+1 = (2m+1)^{2}$

   $<=> 4x^{3}+(2x+1)^2=(2m+1)^2$

   $<=>x^{3}=(m-x)(m+x+1)$

-Nhận thấy $x=0$ thỏa mãn đề bài.

-Xét $x \neq 0$, vì $x\epsilon Z$ nên ta có hệ sau:

Vế trái $<=>$ $\frac{a^3bc}{c+a^2bc}+\frac{b^3ca}{a+bc^2a}+\frac{c^3ab}{b+ca^2b}$

 $=abc\left (\frac{a^2}{c+a^2bc}+\frac{b^2}{a+bc^2a}+\frac{c^2}{b+ca^2b}\right )$

Đến đây áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

Vế trái$\geq abc.\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+abc(a+b+c)}$

$=>$ đpcm