kaitosama apollonius

rốt cuộc câu 2 có tồn tại hay không mình mơ hồ quá

không tồn tại mà các bạn

Figure4239.png

 

Chi tiết hơn nhé. $\angle EGF=\angle BGE+\angle CGF-\angle EGF=360^\circ-2\angle BAC-(180^\circ-2\angle BAC)=180^\circ$ nên $E,G,F$ thẳng hàng. Từ đó $\angle ABK+\angle ACK=\angle AGE+\angle AGF=180^\circ$ nên $K$ thuộc $(O)$. Dễ thấy $G$ là điểm Miquel nên hai tam giác $GBA$ và $GKC$ đồng dạng, lại có $GO$ là phân giác $\angle BGC$ nên $GO$ là phân giác $\angle AGK$. Từ đó kết hợp $OA=OK$ thì $AOKG$ nội tiếp. Sử dụng trục đẳng phương dễ thấy $AK,OG,BC$ đồng quy.

còn câu b thế nào ấy nhỉ

Câu 5 :tìm f: $R\rightarrow R thỏa mãn: f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy$(1)

ta giải như sau:

thay x=1 vào (1) suy ra f là 1 song ánh

như vậy tồn tại u để f(u)=0

Đặt f(0)=a ta xét :

Nếu f(0)=0 thì thay y+0 vào (1) ta có f(-f(x))=2f(x) suy ra f(x)=-2x (do f là 1 song ánh)

thử lại thấy không thỏa mãn

Nếu f(0)$\neq$0 ta có : thay x=u; y=0 ta có:

f(au)=0=f(u) mà f song ánh và f(0) khác 0 nên có au=u với u$\neq$0 nên a=1

thay x=y=1 ta được f(1)=0

 thay x=0 thì được f(-1)=2

thay x=1,y=-1 ta có f(2)=-1 

thay y=2 ta có f(-x-f(x))=2f(x)+2x

do f song ánh nên tồn tại z sao cho f(z)=f(x)+x 

suy ra f(-f(z))=2f(z)

thay y=1;x=z ta có 

f(-f(z))=2f(z)- z do đó z=0

suy ra f(x)=1-x