Đến nội dung


quynhlqd2016

Đăng ký: 23-12-2016
Offline Đăng nhập: 24-04-2017 - 16:38
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tuần 2 tháng 4/2017: Chứng minh rằng $\frac{MP}{...

10-04-2017 - 18:58

ta chứng minh bổ đề sau

  Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,K thuộc (AOC), đường tròn (K,KA) cắt AB,AD tại M,N,đường tròn (K,KC) cắt CB,CD tại S,T chứng minh MN//ST

File gửi kèm  tuần 2 tháng 4 năm 2017.png   52.02K   5 Số lần tải

 cho AC cắt (K,KA),(K,KC),OK tại Q,V,X.$AO\cap AO=Y$

có $\widehat{KVC}=\widehat{KCA}=\widehat{KOA}$ $\Rightarrow$ XVOYnội tiếp

ta có $\widehat{OKC}=\widehat{XCO}$   $\Rightarrow$ $\widehat{KXC}$=$\widehat{KCO}$=$\widehat{KAY}$=$\widehat{KYA}$

$\Rightarrow Y\in (K,KA)$ 

C/M tt QK$\cap$ OC= H  $\Rightarrow$ H$\in$ (K,KC)

Ta có (AB,AC)=(AM,AQ)$\Rightarrow$ (KM,KQ)$\Rightarrow$ (OB,OC) Gọi MK$\cap$ OB=Z$\Rightarrow$ (ZK,ZO)=(HK,HO)$\Rightarrow$ HKOZnội tiếp $\Rightarrow \widehat{KZO}=\widehat{KHO}=\widehat{KCO}=\widehat{OYK}$ $\Rightarrow$ KOYHZ nội tiếp

$\Rightarrow$(KOY)$\cap$ OB=Z

Tương tự (CB,CA)=(CS,CV)$\Rightarrow$ (OB,OA)=(KS,KV).      SK$\cap OB=Z'$ 

dễ dàng chứng minh Z'$\in$ (HKY)$\Rightarrow$ (KOY)$\cap$ OB=Z'$\Rightarrow$ Z$\equiv $Z'$\Rightarrow$ $\overline{S,M,K}$ 

C/m tt $\overline{K,N,T}$

File gửi kèm  tuần 2 tháng 4 năm 2017(2).png   57.97K   5 Số lần tải

$\Rightarrow$ MN//ST $\Rightarrow PQ//ST$

$\Rightarrow$ $\overline{L,K,C}$

KC$\cap$ (K,KA)=W   $\Rightarrow$ NW//TC và MW//SC

$\Rightarrow$ $\frac{JN}{NQ}$=$\frac{JW}{WC}$=$\frac{JM}{MP}$ $\Rightarrow$ $\frac{MP}{NQ}$=$\frac{JM}{JN}$


Trong chủ đề: Tuần 1 tháng 4/2017: Chứng minh rằng $MN \parallel GL$.

04-04-2017 - 00:24

tiếp tuyến của A cắt BC tại S$\Rightarrow$ $\overline{K,S,O}$

Có $\widehat{KLx}=\widehat{KDG}=\widehat{SAK}=\widehat{AOK}$gọi $GL\cap AO=A'$   $\Rightarrow A'LOK $nội tiếp $\Rightarrow A\equiv A'$

$\Rightarrow \overline{A,L,G}$ $\Rightarrow \widehat{OLA}=\widehat{HLA}=90\Rightarrow$ $\overline{H,O,L}$

File gửi kèm  tuan1thang4nam2017.png   130.44K   6 Số lần tải

rút gọn bài toán thành 

File gửi kèm  tuan1thang4nam2017(1).png   122.5K   5 Số lần tải

 

QF,QE lần lượt cắt (HFE) tại S,T.áp dụng định lí pasal cho$\binom{AFS}{HTE}$ $\Rightarrow J=FT\cap SE$ thuộc BC

Ta có$ \widehat{FTE}=\widehat{FAE}=\widehat{FDB}$   $\Rightarrow FTDQ$ nội tiếp  

 

t/tự   $\widehat{ESQ}$=$\widehat{FAE}$=$\widehat{EDC}$  $\Rightarrow SEQD$ nội tiếp

áp dụng định lí MIQUEL trong tứ giác toàn phần JFTEQD$\Rightarrow$ S là điểm miquel$\Rightarrow $JFSD nội tiếp

$\Rightarrow QD.QJ=QS.QF=QL.QA\Rightarrow $ALDJ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{JLA}=\widehat{JDA}=90$   $\Rightarrow$ J$\in HO$ 

xét phep nghịch đảo $N_{J}^{k}:T\rightarrow F$,$S\rightarrow E,Q\rightarrow D\Rightarrow (STQ)\rightarrow (FED)$ $\Rightarrow$ tâm G của(STQ)$\rightarrow$ tâm W của (FED)

$\Rightarrow \overline{J,W,H,O,,G}$ 

Ta có $\overline{MD}.\overline{MF}=\overline{MQ}.\overline{MT}$ 

          $\overline{ND}.\overline{NE}=\overline{NS}.\overline{NQ}$

$\Rightarrow $MN là trục đẳng phương của (G),(W)$\Rightarrow MN$ vg góc với HO

$\Rightarrow MN//QL$

 


Trong chủ đề: Tuần 3 tháng 3/2017: Bốn điểm $U,V,S,T$ cùng thuộc một đường tròn.

21-03-2017 - 16:32

Ta có   $MN//BC\Rightarrow$ MNFE nội tiếp. dễ dàng chứng minh $\Delta HNP\sim \Delta HMQ$
$\Rightarrow \widehat{NHP}=\widehat{QHM}$ suy ra $\widehat{NHQ}=\widehat{PHM}$ (1)
Vẽ HI,HJ vuông góc với AB,AC,X,Y là trung điểm BU,CV .
ta có $\frac{sNHQ}{sMHP}=\frac{QN.HI}{PM.HJ}=\frac{HQ.HN.sin NHQ}{HP.HM.sinMHP}$ =1(theo (1))
$\Rightarrow \frac{QN}{PM}=\frac{HJ}{HI}=\frac{CE}{BF}=\frac{AU}{AV}=\frac{NX}{MY} $
mà $\widehat{BNX}=\widehat{BAC}=\widehat{CMY}$  $\Rightarrow$ $\Delta NQX\sim \Delta MPY$
$\Rightarrow \widehat{BQX}=\widehat{CPY}\Rightarrow \widehat{BTU}=\widehat{CSV}$
$\Rightarrow STUV$ nội tiếp
 

Trong chủ đề: Tuần 2 tháng 3/2017: Chứng minh $KM=KN$ và nhận bài đề nghị từ...

13-03-2017 - 15:11

Vẽ KS vuông góc với AR. Ta có KSR=KIR=90   $\Rightarrow RSKI$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{RSI}=\widehat{RKI}$

mặt khác $AR\cap (K)=W$   suy ra $\widehat{AKS}=\widehat{AQW}$=$\widehat{AIP}$=$\widehat{ABC}$=$\widehat{ACB}$

$KS\cap BC=T$   $\Rightarrow$ AKCT nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AKN}=\widehat{ATI}$(1)

Vì ASIT nôi  tiếp $\Rightarrow \widehat{RSI}=\widehat{ATI}=\widehat{RKI}$(2)

TỪ (1),(2)$\Rightarrow \widehat{AKM}=\widehat{RKI}$

$\Rightarrow KN=KM$


Trong chủ đề: Tuần 4 tháng 2/2017: Chứng minh $S,T,J$ thẳng hàng

27-02-2017 - 18:30

Lời giải bài toán.

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có tâm nội tiếp $I,L,K$ lần lượt là đối xứng của $C,B$ qua $IB,IC.$ Khi đó $KL \perp OI.$

Chứng minh. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $U,V,G.$

Đặt $(a,b,c)=(AG,BG,UC).$ Vì $BL=BC,BG=BU$ nên $GL=UC=c.$

Ta có: $LO^{2}-LI^{2}=LA.LB+R^{2}-(GL^{2}+r^{2})=(LA-GA).LB-GL^{2}+R^{2}-r^{2}=(c-a)(b+c)-c^{2}+(R^{2}-r^{2})=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2}).$

Tương tự: $KO^{2}-KI^{2}=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2})$ nên $LO^{2}-LI^{2}=KO^{2}-KI^{2}.$

Theo định lí Carnot, $LK \perp OI.$

File gửi kèm  TUÁN 4 THÁNG 2.png   116.69K   10 Số lần tải

Bổ đề 2. Gọi $P,Q$ là tâm đường tròn bàng tiếp $C,B$. Khi đó $PL,QK$ cắt nhau tại điểm nằm trên $OI.$

Chứng minh. $PL$ cắt $(ABI)$ tại $E,KQ$ cắt $(AIC)$ tại $F.LK\cap IO$ tại $T.$ Theo bổ đề 1 thì $\widehat{LTI}=90^0.$

Mặt khác ta có $\widehat{LEI}=\widehat{LTI}=90^0 \Rightarrow LEIT$ nội tiếp. (1)

Tương tự     $\widehat{KFI}=\widehat{KTI}=90$   $\Rightarrow FKIT$ nội tiếp. (2)

Ta có $(FL,FK)=(IL,IQ)=(IQ,IC)=(IB,IP)=(IP,IK)=(EL,EK)\Rightarrow ELFK$ nội tiếp. (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow EL,FK,IT$ đồng quy, đpcm.

File gửi kèm  tuần 4 month 2.png   123.91K   9 Số lần tải

Trở lại bài toán ban đầu.

File gửi kèm  tuần 4 month 2 tổng kết.png   113.57K   9 Số lần tải

Gọi $K,L$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $C,B.$ Theo bổ đề 2 $JM,LP,OI$ đồng quy suy ra $P,E,L$ thẳng hàng. Tương tự $K,F,Q$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí Desargues cho 2 tam giác $KFB$ và $ELC \Rightarrow \overline{S,J,T }.$