Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


quynhlqd2016

Đăng ký: 23-12-2016
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 00:27
*****

#672935 Tuần 4 tháng 2/2017: Chứng minh $S,T,J$ thẳng hàng

Gửi bởi quynhlqd2016 trong Hôm qua, 18:30

Lời giải bài toán.

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có tâm nội tiếp $I,L,K$ lần lượt là đối xứng của $C,B$ qua $IB,IC.$ Khi đó $KL \perp OI.$

Chứng minh. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $U,V,G.$

Đặt $(a,b,c)=(AG,BG,UC).$ Vì $BL=BC,BG=BU$ nên $GL=UC=c.$

Ta có: $LO^{2}-LI^{2}=LA.LB+R^{2}-(GL^{2}+r^{2})=(LA-GA).LB-GL^{2}+R^{2}-r^{2}=(c-a)(b+c)-c^{2}+(R^{2}-r^{2})=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2}).$

Tương tự: $KO^{2}-KI^{2}=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2})$ nên $LO^{2}-LI^{2}=KO^{2}-KI^{2}.$

Theo định lí Carnot, $LK \perp OI.$

TUÁN 4 THÁNG 2.png

Bổ đề 2. Gọi $P,Q$ là tâm đường tròn bàng tiếp $C,B$. Khi đó $PL,QK$ cắt nhau tại điểm nằm trên $OI.$

Chứng minh. $PL$ cắt $(ABI)$ tại $E,KQ$ cắt $(AIC)$ tại $F.LK\cap IO$ tại $T.$ Theo bổ đề 1 thì $\widehat{LTI}=90^0.$

Mặt khác ta có $\widehat{LEI}=\widehat{LTI}=90^0 \Rightarrow LEIT$ nội tiếp. (1)

Tương tự     $\widehat{KFI}=\widehat{KTI}=90$   $\Rightarrow FKIT$ nội tiếp. (2)

Ta có $(FL,FK)=(IL,IQ)=(IQ,IC)=(IB,IP)=(IP,IK)=(EL,EK)\Rightarrow ELFK$ nội tiếp. (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow EL,FK,IT$ đồng quy, đpcm.

tuần 4 month 2.png

Trở lại bài toán ban đầu.

tuần 4 month 2 tổng kết.png

Gọi $K,L$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $C,B.$ Theo bổ đề 2 $JM,LP,OI$ đồng quy suy ra $P,E,L$ thẳng hàng. Tương tự $K,F,Q$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí Desargues cho 2 tam giác $KFB$ và $ELC \Rightarrow \overline{S,J,T }.$




#667711 Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 09-01-2017 - 11:22

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?




#667278 Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 06-01-2017 - 14:39

giờ em chứng minh HM//AP

Ta có MO=MS,QJ=QD$\Rightarrow DO$ đi qua N.

HI cắt OD tại X$\Rightarrow X$ là trung điểm OD$\Rightarrow XM//DS \Rightarrow \frac{HA}{HN}=\frac{XD}{XN}=\frac{MP}{MN}\Rightarrow HM//AP$




#667257 Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 06-01-2017 - 11:43

tiếp tuyến của A cắt BC tại $G\Rightarrow OG\perp AD$.

Có $A(GDBC)=-1\Rightarrow O(AGKL)=-1$,mà $KL\parallel OG$(cùng$\perp AD$) nên OA đi qua trung điểm R của KL. AH cắt OF(với F là giao điểm 2 tiếp tuyến tai BC)tại T

Dễ dàng c/m ATOKL nội tiếp$\Rightarrow ATLK$ là hình thang cân $\Rightarrow AK=TL=KD\Rightarrow KTLD$là hình bình hành$\Rightarrow DR$ đi qua T

vì $R(ADKP)=-1\Rightarrow (OEPJ)=-1(E=RD\cap OJ )\Rightarrow D(OEPJ)=-1$,DP cắt OT tại S$\Rightarrow S$ là trung điểm OT Q là trung điểm DJ$\Rightarrow QP$ qua trung điểm M của OS. OD cắt AT tại W$\Rightarrow JQ=JD/2=WJ/2$ SM=SO/2=TS/2$\Rightarrow WT$,JS,QM đồng qui tại N(Theo talet đảo) Có S(JDQM)=-1$\Rightarrow (NPMQ)=-1 \Rightarrow H(NPMQ)=-1 \Rightarrow H(APMQ)$ mà HM//AP nên HQ qua trung điểm AP

Hình gửi kèm

  • f.png



#666022 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 27-12-2016 - 21:10

Một lời giải sử dụng phép nghịch đảo:
Xét phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AB.AC$ hợp với phép đối xứng trục phân giác góc $A$, ta chuyển về bài toán sau:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(I_a)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $(AI_a), (AD)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E, F$. $AD$ cắt $(AI_a)$ tại $G$. Đường tròn qua $A, G$ có tâm là $H$ thỏa mãn $AH \perp BC$ cắt $(O)$ tại $K$.$(AD)$ cắt $(AI_a)$ tại điểm thứ hai $N$. $AN$ cắt $(O)$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $PEKF$ điều hòa.
Lời giải:
Gọi $L,M, Q$ là trung điểm $AD, BC, AI_a$. Dễ thấy $AN \parallel BC$. Ta có $OM \perp AP, OL \perp AF, OH \perp AK, OQ \perp AE$ nên tứ giác $PEKF$ điều hòa khi và chỉ khi $(OM, OH, OQ, OL)=-1$. Tương đương với $OH$ chia đôi $LQ$ do $LQ \perp BC$. Vị tự tâm $A$ tỉ số 2, ta có bài toán:
Cho tam giác $ABC$ đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $P$ là điểm thỏa mãn $AP \perp BC$, $IP \perp AD$. Kẻ đường kính $AQ$ của $(ABC)$. Khi đó $PQ$ chia đôi $ID$. Bài toán trên là bài toán của thầy trên đường tròn bàng tiếp góc $A$.

anh có thể giải thích tại sao OH chia đôi LQ được không ạ




#665970 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 26-12-2016 - 23:36

các tính chất của đường của đường tròn mixilinear và cách chứng minh mong mọi người tham khảo tại đây https://julielltv.wo...on-mixtilinear/

 

Hình gửi kèm

  • snsd.png
  • R.png
  • T.png



#665695 Tuần 3 tháng 12/2016 : Đường tròn tiếp xúc

Gửi bởi quynhlqd2016 trong 23-12-2016 - 23:26

cach giai cua em gan giong voi cach giai cua anh bao, em post cham, mong moi nguoi gop y

 

Hình gửi kèm

  • q.png
  • A.png