Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Duy Thai2002

Đăng ký: 30-12-2016
Offline Đăng nhập: 13-03-2019 - 12:27
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN HSGQG TỈNH QUẢNG NGÃI

20-09-2018 - 17:57

Kí hiệu $P(m,n)$ là thay $x$ bởi  $m$, $y$ bởi $n$ trong phương trình hàm đề bài.

$P(0,0)$ $f(-1)+(f(0))^{2}=-1$

$P(0,-1)$ $=> f(-1)+f(0)f(-1)=-1$

$=> f(0)(f(0)-f(-1))=0$ 

$<=> \begin{bmatrix}f(0)=0 & \\ f(0)=f(-1) & \end{bmatrix}$

Nếu $f(0)=f(-1)$ thì theo như trên suy ra được:

$f(0)^{2}+f(0)=-1$. Rõ ràng phương trình này vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nên loại TH này

$=> f(0)=0$. Theo $P(0,0)$ $=> f(-1)=-1$

$P(1,1)$ $=> (f(1))^{2}=1$

$<=> \begin{bmatrix}f(1)=1 & \\ f(1)=-1 & \end{bmatrix}$

Nếu $f(1)=1$ 

$P(x,1)$  

$=> f(x)+f(x-1)=2x-1$  (1)

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$. 

$=> f(xy)=f(x)f(y)$

Trong (1), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=> f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}a+b=2x+3 & & \\b+c=2x+1 & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (1))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c+2 & & \\b=2x+1-c & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> c(c+2)+(2x+1-c)^{2}=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2(c-x)^{2}=0$

$<=> c=x$

$<=> f(x)=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$ . Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm.

Nếu $f(1)=-1$

$P(x,1)$  

$=> f(x-1)-f(x) =2x-1$(2)

 Trong $(2)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$.

$=> f(xy)=-f(x)f(y)$

Trong (2), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$-f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=>- f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}b-a=2x+3 & & \\c-b=2x+1 & & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (2))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c-4x-4 & & \\b=c-2x-1& & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> (c-2x-1)^{2}-c(c-4x-4)=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2c=-2x^{2}$

$<=> c=-x^{2}$ $<=> f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 

Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm trên.

Vậy $f(x)=x$, $f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHS...

10-09-2018 - 22:13

Bài 3. Ta có tính chất sau:

$a.b=(a,b)[a,b]$

Do đó , ta có bất biến là: tích hai số lúc đầu bằng tích hai số lúc sau.

Xét số $a_{1}$ mang giá trị  ban đầu là$a$ ( với $a_{1}$ là số ở ô thứ 1 và $a_{1}$  phải nhận giá trị là UCLN của hai số được thay)

Ta nhận nếu thay $a,b$ bởi $a',b'$   $a'=(a,b)$ thì $a_{1}< a,a_{1}<b$ . Cứ tiếp tục thay $a_{1}$ với  một số bất kì khác và lặp lại liên tục thì $a_{1}$ luôn giảm,.

Mà một số trong bảng thì lớn hơn hoặc bằng 1.Do đó, sẽ có lúc số $a_{1}$ phải bằng 1.  Tiếp tục giống như trên ở ô bất kì.

Thì sau hữu hạn bước, hoặc trên bảng có 2017 số 1 hoặc còn lại k số $1$ và 2018-k số, sao cho những số đó lập thành một cấp số nhân.

Do đó, quá trình kết thúc sau hữu hạn bước.


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHS...

10-09-2018 - 21:26

2b). Ta có:

$x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}\geq \frac{(a_{n}+b_{n}+c_{n})^{2}}{3}=\frac{1}{3}$, $x_{n}=(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})\leq (a_{n}+b_{n}+c_{n})^{2}=1$ ( do  $a_{n},b_{n},c_{n}$ đều dương.

$=> (x_{n})$ bị chặn.

Mặt khác, ta có: $x_{n+1}=\frac{3x_{n}^{2}-2x_{n}+1}{2}\leq x_{n}$

$<=> 3x_{n}^{2}-4x_{n}+1\leq 0$ ( đúng do $\frac{1}{3}\leq x_{n}\leq 1$)

$=> (x_{n})$ giảm và bị chặn nên $(x_{n})$ hội tụ. Gọi giới hạn dãy là $L$, $\frac{1}{3}\leq L\leq 1$

Chuyển qua giới hạn, ta có:

$L=\frac{3L^{2}-2L+1}{2}$

Giải pt trên được$\begin{bmatrix}L=\frac{1}{3} & \\ L=1 & \end{bmatrix}$

Kết luận.


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHS...

10-09-2018 - 21:09

Bài 2 

a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$

Ta có: $x_{n}^{2}+\frac{(x_{n}-1)^{2}}{2}=(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})^{2}+\frac{(-2a_{n}b_{n}-2b_{n}c_{n}-2c_{n}a_{n})^{2}}{2}=(a^{2}_{n}+b^{2}_{n}+c^{2}_{n})^{2}+2(a_{n}b_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}a_{n})^{2}$

Tới đây để ý một chút ta có thể phân tích:  $(a^{2}_{n}+b^{2}_{n}+c^{2}_{n})^{2}+2(a_{n}b_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}a_{n})^{2}=(a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n})^{2}+(b_{n}^{2}+2c_{n}a_{n})^{2}+(c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n})^{2}=a_{n+1}^{2}+b_{n+1}^{2}+c_{n+1}^{2}=x_{n+1}$

Do đó , $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{(x_{n}-1)^{2}}{2}$


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHS...

10-09-2018 - 20:48

Câu 1. Đề anh đánh thiếu rồi. Phải là $f(f(x_{0}))$

Từ gt 

$=> x^{2}+ax+b=0$ có nghiệm kép là $f(x_{0})$

$<=> \Delta =0$

$<=> a^{2}=4b\geq 0$

$=> b\geq 0$

$=> f(x_{0})=\frac{-a}{2}$. Mà theo giả thuyết thì $f(x_{0})$ là nhiệm $f(x)$

$=> f(x_{0})=\frac{-a}{2}$

$<=> x_{0}^{2}+ax_{0}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{2}=0$

Mà $x_{0}$ là duy nhất nên pt $x^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4} +a=0$

$<=> a^{2}-4(\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{2})=0$

$<=> a=0$.

Vậy $a,b$ là hai số thực  không âm.