Duy Thai2002

Ta có: $cotx=\frac{cosx}{sinx}$, $cos^{2}x+sin^{2}x=1$ (Cái này tự chứng minh)

Ta có: $\frac{cos^{2}x-sin^{2}y}{sin^{2}xsin^{2}y}-cot^{2}xcot^{2}y=\frac{cos^{2}x-sin^{2}y-cos^{2}xcos^{2}y}{sin^{2}xsin^{2}y}=\frac{cos^{2}x(1-cos^{2}y)-sin^{2}y}{sin^{2}xsin^{2}y}=\frac{cos^{2}xsin^{2}y-sin^{2}y}{sin^{2}xsin^{2}y}=\frac{sin^{2}y(cos^{2}x-1)}{sin^{2}xsin^{2}y}=\frac{-sin^{2}xsin^{2}y}{sin^{2}xsin^{2}y}=-1$

=> Bt= -1

Gọi x là số cam mang đi bán.

Ta có pt:$((x-\frac{1}{3}x-1)-\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}x-1)-1)-29=0$

Giải pt => x=69

Vậy người đó mang 69 quả cam đi bán.

Đặt $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc$, $S=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)$

 

Ta có: $S=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)-3(abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1)$

           $=p(p^2-3q)-3(r-q+p-1)=21-6q-3r$

Khi đó thì: $3 \leq 21-6q-3r  \leq 9\Leftrightarrow  4\leq 2q+r\leq 6$

 

$\bigstar$  Chứng minh: $4 \leq 2q+r$

Từ giả thiết ta có: $abc-(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0\Leftrightarrow r-(r-2q+4p-8) \geq 0$

$\Leftrightarrow  2q-4p-8 \geq 0 \Leftrightarrow q \geq 2$ 

Khi đó: $2q+r \geq 2q \geq 4$

Đẳng thức xảy ra khi $p=3, q=2, r=0\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị.

 

$\bigstar$ Chứng minh $2q+r \leq 6$

Hiện vẫn bí

Bài bạn sai ngay cái S.ta có (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

Đề hỏi: a^{3}+b^{3}+c^{3}.....Đâu mất 3abc rồi 

Sửa lại => 21-6q $\leq 9$

<=> $6q\geq 12$

<=> $q\geq 2$ .Bđt này mình đã chứng minh ở trên

=> 21-6q $\leq 9$

Max:

Ta có: p=3($a^{2}+b^{2}+c^{2}$)-6$\leq 9$$

<=> a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\leq 3$

<=> $(a+b+c)^{2}-2\sum ab-2\leq 3$

<=> $3^{2}-2-3\leq 2\sum ab$

<=>$2\sum ab \geq 4$

<=> $\sum ab\geq 2$

Ta sẽ chứng minh $\sum ab\geq 2$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Từ gt => $0 \leq c\leq 1$

Ta có:(a-2)(b-2) $\geq 0$

<=>$ab\geq 2(a+b)-4$

=>$\sum ab \geq 2(a+b)-4+bc+ca=(a+b)(c+2)-4=(3-c)(c+2)-4=-c^{2}+c+6-4=-c^{2}+c+2$

Ta cần cm $-c^{2}+c+2\geq2$

<=> $-c^{2}+c\geq 0$

<=> $0\leq c\leq 1 (luôn đúng trong khoảng c đang xét)

=> bđt được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a=2, b=1 ,c=0 và các hoán vị.(Q.E.D)   

<=> $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 18$

Áp dụng AM-GM, ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq $\sqrt[6]{(abc)^{3}}=6(abc=1)$

a+b+c$\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(abc=1)$

=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 6.3=18$

=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c) $\geq 18$.Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=1

=>Q.E.D

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel,ta có:

$\sum \frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}\geq \frac{(\sum(b+c-a)^{2})^{2}}{\sum a^{2}}$

Đặt $b+c-a=x,c+a-b=y, a+b-c=z$

$\rightarrow \frac{(\sum(b+c-a)^{2})^{2}}{\sum a^{2}}$=$\frac{4(\sum x^{2})^{2}}{\sum (x+y)^{2}}\geq \frac{4(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{2}+y^{2}}$(Cauchy-Schwarz)= $\sum x^{2}$

Tiếp tục Cauchy-Schwarz một lần nữa, ta được:

$\sum x^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum x)^{2}=\frac{1}{3}(\sum a)^{2}\geq \sum ab$

=> $\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}+\frac{(c+a-b)^{4}}{b(b+c-a)}+\frac{(a+b-c)^{4}}{c(c+a-b)}\geq ab+bc+ca$.Đằng thức xảy ra <=> $\Delta ABC đều$ (Q.E.D)

Bổ đề: Cho a,b,c>0.Khi đó ta được: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

CM:

Xét tích:$\prod (1-a)^{2}=\prod (1-a)(1-b)\geq 0$

Nhận thấy Trong ba số (1-a)(1-b),(1-b)(1-c),(1-c)(1-a) phải có 1 số không âm giả sử (1-a)(1-b)$\geq 0$

<=>ab-a-b+1$\geq 0$

<=> ab$\geq a+b-1$

<=>2abc$\geq 2ac+2bc-2c$

=>$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac+2bc-2c+1

Ta cần chứng minh a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)

<=> $(a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0 (luôn đúng)$

=> Bổ đề được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Quay trở lại bài toán

Theo giả thiết, ta có:

$\sum \frac{1}{ab}\geq 3$

<=>$\sum a\geq 3abc$

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-4abc+1\geq 0$

<=>$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 6abc$

Từ bổ đề trên

=>$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ nên chỉ cần chứng minh 2(ab+bc+ca)\geq 6abc

<=>ab+bc+ca\geq 3abc

<=>$(ab+bc+ca)^{2}\geq 9(abc)^{2}$(luôn đúng vì ta có $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)\geq 3abc.3abc=9(abc)^{2})

.=>$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4abc+1\geq 0$.Dấu bằng xảy ra<=>a=b=c=1

=> Q.E.D

Bổ đề: S=p.r

Ta có:$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{2a}{S}+\frac{2b}{S}+\frac{2c}{S}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{2p}{2S}=\frac{1}{r}$

=>Q.E.D

đề có sai không

có 4.3.2=24 số chia hết cho 2

hay

Giờ buồn ngủ quá.Để sáng đi làm.

hay

hay