05479865132

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z$\leq$3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn (a+b)(a+c)=1.Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)abc(a+b+c)$\leq \frac{1}{4}$

b)a(ab+bc+ca)$\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Bài 93(sưu tầm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB>AC. Tia phân giác cua góc BAC cắt đường tròn (O) tại D (D khác A) và cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại E. Gọi F la giao điểm của BD và AC.

a)Chứng minh EF//BC

b)Gọi M là giao điểm của AD va BC. Các tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại N.Chứng minh rằng:$\frac{1}{BN}=\frac{1}{BE}+\frac{1}{BM}$

Bài 76(Chuyên Bến Tre 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O.Từ một điểm A nằm ngoài đường tron kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn (T,S là các tiếp điểm).Trên cung lớn TS lấy diem D sao cho $\angle TOD<\angle SOD<180$.Kẻ các đường cao TE,SF và đường trung tuyến DM cua tam giác TSD.

a)Chứng minh rằng:

 i)DE.TA=DT.TM

 ii) $\angle DOT=\angle ETM$

 iii)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA

b)Gọi N la giao điểm cua DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM

Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1.CM $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$