kekkei

Gọi các điểm M($x;y$), A(2;0), B(-2;0) 

Từ giả thiết: MA+MB=6, ta lập được elip có tiêu cự A,B 

Bây giờ ta cần tìm đường tròn tâm O(0;0) tiếp xúc với elip trên

Dễ thấy min, max của P đạt được tại 2 điểm thuộc trục hoành, từ đó tính được M+m

diendan(110).PNG

M là trung điểm cung nhỏ 

Cũng muốn góp vui một bài tự sáng tác đề khá ngắn mà hay( cho THCS) định gửi cho toán học tuổi trẻ mà lười ghi lời giải    Bài toán 65: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , M là trung điểm cung nhỏ BC . lấy K,L lần lượt thuộc AB,AC sao cho OK//MB và OL//MC. ML cắt (O) tại điểm thứ 2 là G .Chứng minh BG chia đôi KL

( Mình nghĩ nó hay qua lời giải của mình còn bạn nào thấy dễ quá thì cũng đừng chê nhé ^^)

$\sum \frac{1}{x^{-10k}(yz)^{5k}+y^{-4k}+(xz)^{2k}+z^{-10k}(xy)^{5k}}= \sum \frac{1}{x^{-15k}+y^{-6k}+z^{-15k}}$

$(x^{-3k},y^{-3k},z^{-3k}) \rightarrow (a,b,c) \Rightarrow abc=1$

$\sum \frac{1}{a^5+b^2+c^5}= \sum \frac{a^{-1}+b^2+c^{-1}}{(a^5+b^2+c^5)(a^{-1}+b^2+c^{-1})} \leq \frac{(a+b+c)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} \leq 1$

trích dẫn nhầm đề :v viet+ cực hạn cho cái câu special gift

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

gợi ý cho mấy bạn lớp 9 : dùng cực hạn + viet

Gọi tương ứng 2 phương trình là (1),(2):

$(2)+ 2.(1) \rightarrow (7x+y-7)(14x+2y+17)=0$

Bạn nói rõ phần này được không?

$f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)=\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}-\frac{4}{a+b}-2.\frac{4}{\frac{a+b}{2}+c}=\frac{1}{c}+3-\frac{16}{(a+b+c)+c}$

Ta có biến đổi: $\frac{3a-b}{a^2+ab}=\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}$

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

$f(a,b,c)= \sum \frac{1}{a}+\frac{9}{ \sum a} -  \sum  \frac{4}{a+b} \geq 0$

Gỉa sử $c=max {a,b,c} $

Sử dụng AM-GM, ta quy về chứng minh:

$3b^2+8c^2+2abc \leq 13$

hay $a^2+b^2+c^2 \geq 2abc+1 (1)$

Xét các trường hợp:

+ $(b-1)(c-1) \leq 0$

$VP_{1} \leq a^2+b^2c^2+1 \leq a^2+b^2+c^2$

+ $(b-1)(c-1) \geq 0$

*$b \geq 1, c \geq 1  \Rightarrow a \leq 1 $ 

* $ b \leq 1, c \leq 1 \Rightarrow a \geq 1$

Từ 2 trường hợp, ta có: $(a-1)(bc-1) \leq 0$ và $(a-1)(a-bc) \geq 0$

$a^2+b^2+c^2-2abc-1 \geq a+b^2+c^2-abc-bc-1=(b-c)^2-(a-1)(bc-1) \geq 0$ 

q=2 ( absurd)

p =2;3 ( absurd) 

-> p $\equiv$ [1;-1] ( mod 6)

* p $\equiv$ 1 ( mod6) -> q $\vdots$ 3 -> q=3 -> p=7

* $\equiv$ -1 ( mod6) -> 4 $\equiv$  2q(17q+24) ( mod6)

-> 2 $\equiv$ q(17q+24) ( mod6)

-> 17q² $\equiv$ 2 ( mod6)

-> q²+2 $\vdots$ 6

notice that q is odd -> q²+2 is odd ( contradiction)

$P=7(x^4+y^4)+4x^2y^2=7(x^2+y^2)^2-10x^2y^2=\frac{1}{4}(-33x^2y^2+14xy+7)$

$1+xy=2(x^2+y^2) \geq 4|xy| \Leftrightarrow \frac{-1}{5} \leq xy \leq \frac{1}{3}$

Tới đây ta tìm được $MinP=   \frac{18}{25}$ tại $x=-y= \pm \frac{1}{ \sqrt{5} }$

$MaxP=\frac{70}{33} $ tại $xy=\frac{7}{33}$

Kiểm tra với $\sin x=0, \sin 3x =0, \sin 9x=0$ 

$\sin x(2\cos 2x +1)=sin3x-sinx+sinx=sin3x$

Tương tự ta thu được:

$\sin 3x .\sin 9x.\sin 27x=\sin x.\sin3x.\sin9x$

$\Leftrightarrow\sin 3x .\sin 9x.(\sin 27x-\sin x)=0$

Dễ thấy $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}=\frac{\pi}{7}$

theo định lý sin:

$a=\frac{2R}{\sin A},b=\frac{2R}{\sin B},c=\frac{2R}{\sin C}$

Do vậy ta cần chứng minh:

$\frac{1}{\sin \frac{\pi}{7}}=\frac{1}{\sin \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin \frac{4\pi}{7}}\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{7}(\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7})=\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}$

$VP=\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7})=\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7})=VT$

Cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng d đi qua trọng tâm G và trung tuyến AM của tam giác ABC. d cắt AB tại D, AC tại E. Xác định vị trí của d để tổng 2 diện tích BDE và CDE nhỏ nhất 

mình nghĩ đề bài là tìm d để tổng 2 diện tích BDE và CDE lớn nhất