kekkei

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng

$a\sqrt[3]{(\frac{b}{c})^2}+b\sqrt[3]{(\frac{c}{a})^2}+c\sqrt[3]{(\frac{a}{b})^2}\geqslant 3$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                        KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 

          QUẢNG NGÃI                                                       NĂM HỌC 2017-2018

                                                                                         Ngày thi: 07/6/2017

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                              Môn thi: Toán (Hệ chuyên)

                                                                  Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2 điểm)

        1. Giải phương trình $(x-1)(x+2)+2\sqrt{x^2+x+1}=0$

        2. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left | \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy} \right |+\left | \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy} \right |=\left | x \right |+\left | y \right |$

Đẳng thức trên còn đúng hay không trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?

Bài 2. (2 điểm)

        1. Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $n^2+n+3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và $7n^2+6n+2017$ không phải là số chính phương.

        2. Tìm tất ca các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện:

                                           $2x^2+4y^2-4xy+2x+1=2017$

Bài 3. (2 điểm)

        1. Cho đa thức $P(x)=x^3-6x^2+15x-11$ và các số thực a, b thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=5$. Tính giá trị của $a+b$.

        2. Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x(xy+1)=2y^2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $H=\frac{y^4}{1+y^2+y^4(x^4+x^2)}$

Bài 4. (3 điểm)

        1. Cho hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao cho $\widehat{xOA}=\widehat{yOB}$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên các tia Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

        2. Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE.

        a. Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$.

        b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB, K là hình chiếu vuông góc của N trên AC và I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tam giác IHK cân.

Bài 5. (1 điểm)

           Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.

Tìm số tự nhiên A biết khi gạch bỏ đi một số chữ số liên tiếp ở đầu cùng bên phải của A thì phần còn lại là số B thỏa mãn A=1997B