Câu 1:
Ý tưởng là để ý x = 3 là điểm nhạy cảm của dãy số.
a)Ta chứng minh các bước sau
- $x_n>3 \forall n$
- $|x_{n+1}-3|<\frac{|x_n-3|}{2}$
b)Chia làm hai TH:
Nếu tồn tại $n$ để $x_n>3$ thì cmtt như a)
Xét $x_n<3 \forall n$
Chọn dãy $v_n = \frac{1}{2} + \sqrt{2u_n+\frac{1}{4}}$, ta có $u_n>v_n$ và $lim v_n = 3$, suy ra $lim x_n = 3$ do bị kẹp
Câu 2:
Tồn tại
Chọn $A(x) = (x-1)^3-2$, $B(X) = x^2 + 2x - 4$, ta có:
$gcd(A,B) = 1$, $P(x) - x$ chia hết cho $A(x)$ và $Q(x) - (3x-1)$ chia hết cho $B(x)$
Suy ra, ta cần tìm $P(x)$ thoả mãn:
$P = A.Q + x = B.R + (3x-1)$
$\Leftrightarrow A.Q - B.R = 2x-1$
Vì $gcd(A,B) = 1$ nên theo thuật chia Euclid, tồn tại $Q,R$ hệ số nguyên thoả mãn, suy ra dpcm