Đến nội dung


viet9a14124869

Đăng ký: 06-01-2017
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:40
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{b}+...

03-12-2017 - 10:56

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

Ta có 1 phép dùng AM-GM rất đơn giản : $\frac{a^3}{b}+bc\geq 2a\sqrt{ac}$ 

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức cùng chiều , ta có 

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\geq 2a\sqrt{ac}+2b\sqrt{ba}+2c\sqrt{cb}$ (1)

Mặt khác ta lại có 1 đẳng thức khác hoàn toàn chứng mình được bằng AM-GM :

 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca\geq ab+bc+ca$ (2) 

Từ (1) và (2) ta có đpcm . Dấu "=" xảy ra khi a=b=c . 


Trong chủ đề: $2^{x}-1=3^{y}$

02-12-2017 - 20:30

đây là cách làm của mình bạn xem có đúng ko nhé 

nếu x là số chẵn suy ra y là số lẻ xét x theo môdun 8 suy ra đc y

 

Được chứ cách nào cũng được mà :) .


Trong chủ đề: $2^{x}-1=3^{y}$

02-12-2017 - 20:20

giải phương trình nghiệm nguyên $2^{x}-1=3^{y}$

Mấu chốt làm mấy bài kiểu này thường là phát hiện dạng của số mũ :v

Ta thấy nếu x lẻ thì x có dạng 2k +1 $3^y=2^x-1=2^{2k+1}-1=4^{k}.2-1\equiv 1$ ( mod 3 )  $\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow x=1$

Nếu x chẵn . Đặt x=2k thì pt trở thành $3^y=2^x-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^a & \\ 2^k+1=3^b & \end{matrix}\right.$ 

Trong đó a,b nguyên dương , a+b=y và $3^b-3^a=2\Leftrightarrow 3^a(3^{b-a}-1)=2\rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^a=1 & \\ 3^{b-a}-1=2 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ 

Từ đó tính ra nghiệm $(x;y)\in \left \{ (1;0)(2;1) \right \}$


Trong chủ đề: TOPIC thảo luận, trao đổi toán thi học sinh giỏi khối 10,11 .

30-11-2017 - 21:21

$4=\sum \frac{1}{a}\geq \frac{1}{\sqrt[4]{abcd}}\Rightarrow \sqrt[4]{abcd}\leq 1$

Suy ra $\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{4}{1+\sqrt[4]{abcd}}\geq 6$

P/S: Liệu chỉ thế này hay mình đã sai :))

Sai rồi , đoạn bôi đỏ bạn làm sai rồi nhé ....xem lại đi . 

 

P/S: Các trang trước  còn nhiều bài hay mà mình cũng không muốn bỏ , bạn nào giải được thì đăng lên cho mọi người xem với nhé .... :D  


Trong chủ đề: TOPIC thảo luận, trao đổi toán thi học sinh giỏi khối 10,11 .

26-11-2017 - 07:10

Xin lỗi các mem vì thời gian qua mình bận 1 vài việc nên thỉnh thoảng có lên diễn đàn cũng không giữ lửa cho topic được :)) 

Bài 18 [Sưu tầm]: Cho $0<a<b<c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $ab+bc+ca=9$. Chứng minh rằng: $0<a<1<b<3<c<4$

 

Bài này mình thấy nó khá giống bài British MO trong sách , mình sẽ trình bày theo cách trong sách này , ai có lời giải mới đẹp hơn thì up sớm để mọi người tham khảo nhé :)  có nhiều bài còn dư mong mọi người làm nốt để mình đăng thêm bài mới :)

Đặt p=abc ,xét hàm f(x) =(x-a)(x-b)(x-c) =$x^3-6x^2+9x-p$ 

                                f'(x) = $3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 

Vậy f'(x) có hai nghiệm là x=1 và x=3 . Do f(x) có 3 nghiệm a<b<c nên 1<b<3 và f(1).f(3) <0 

Mặt khác f(1) =4-p  , f(3) =-p  , f(0) =-p  , f(4) =4-p 

Do đó 0<p<4 , suy ra f(0) <0 và f(4) >0 . Vậy 0<a<1<b<3<c<4 . 

 

P/S : Trong hôm nay nếu chưa ai có lời giải cho những bài còn lại thì mong các thành viên đã đề xuất bài toán đó đăng lời giải để mọi người tham khảo nhé ....... :D