Jo Zo

1.$ax=a+x+k \leftrightarrow (a-1)(x-1)=k+1$ vậy số cặp $(a,x)$ thỏa mãn chính là số ước nguyên dương của $k+1$, $=(k+1) - \varphi(k+1)$ ở đây $\varphi$ là hàm Euler

 câu 2 thì mình nghĩ cái này chỉ phụ thuộc vào $k$ thôi chứ k phụ thuộc $m,n$

tuy nhiên đây có thể coi là một ví dụ kinh điển về dãy phân kì dùng tiêu chuẩn Cauchy để chứng minh. với những bài toán khác phức tạp hơn kĩ thuật chọn sẽ khó hơn, bạn nên luyện tập vài bài dùng tiêu chuẩn Cauchy cho quen. ví dụ dãy $1-1/2 +1/3-1/4 +1/5-...+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ lại là dãy hội tụ

oh nhầm đề bài là dấu $\geq$ 

đầu tiên bạn xét $|x_{n+p} - x_{n}|=\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{n+p} \geq \dfrac{p}{n+p}$. đến đây chỉ cần chọn $p$ sao cho $\dfrac{p}{n+p}$ lớn hơn hoặc bằng một số nào đó là được, đơn giản nhất là chọn $p=n$ rồi

$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{8}$

$S=(a^2+b^2+c^2)+(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}) \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}+\dfrac{3}{abc}$

$\geq \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2}{3}+\dfrac{3}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{4}+24$