NHoang1608

China TST là kì thi chọn đội tuyển dự thi $IMO$ của Trung Quốc. Những năm gần đây kì thi được chia thành $4$ vòng thi $TST$ (TST1,TST2,...). Những năm phía trước nữa thì phải chia thành $2$ giai đoạn đó là trước $TST$ và kì thi $TST$ chính thức. Trước hết các thí sinh phải trải qua các bài kiểm tra hay còn gọi là Quiz (Quiz 1,Quiz 2,...). Rồi sau đó mới chính thức thi $TST$, điểm ở mỗi bài phần Quiz ít hơn ở TST nhưng độ khó sẽ nhẹ hơn. Là một đội rất mạnh nên các bài thi $TST$ cũng rất khó và vô cùng độc đáo, các bài hình học cũng không phải ngoại lệ. Vì thế và cũng nhân dịp ngày cuối cùng của năm 2017 và năm mới 2018 mình đã tổng hợp các bài hình học ChinaTST dưới dạng pdf và đăng lên diễn đàn để mọi người có thể thảo luận và làm bài, đồng thời đưa ra nhận các nhận xét cùng các mở rộng thú vị. Sau đó mình sẽ tổng hợp tất cả lại vì viết thành $1$ tài liệu quý giá cho diễn đàn. 

Phan Nhật Hoàng

Lớp A1 Khóa 46, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Bài toán 1 [CHINA TST 2017-TST 1-Ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ không cân, $D,E,F$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC,CA,AB$,. Đường thẳng đi qua $D$ tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cắt $EF$ tại $X$. Xác định các điểm $Y,Z$ tương tự. Chứng minh rằng $3$ điểm $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Bài toán 2 [CHINA TST 2017-TST 3-Ngày 1]. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC,BD,CD$ lần lượt là $P,Q,R$. $P,Q$ nằm trên đoạn $BC,BD$ và $R$ nằm trên đoạn $CD$ kéo dài. Chân đường vuông góc từ $D$ đến $AC,BC,AB$ lần lượt là $X,Y,Z$. $X,Y$ nằm trên đoạn $AC,BC$ và $Z$ nằm trên đoạn $BA$ kéo dài.$H$ là trực tâm tam giác $ABD$. chứng minh rằng dây cung chung của $2$ đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PQR}, \triangle{XYZ}$ chia đôi $BH$. 

Bài toán 3 [CHINA TST 2017-TST 4-Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$, đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc cạnh BC, đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $E,D,F$. $EZ$ là đường kính của đường tròn. $B_{1},C_{1}$ nằm trên $DF$ sao cho $BB_{1}\perp BC, CC_{1}\perp BC$. Đường thẳng $ZB_{1},ZC_{1}$ cắt $BC$ lần lượt tại $X,Y$. Đường thẳng $EZ,DF$ cắt nhau tại $H$, $ZK \perp FD$ tại  $K$. Giả sử $H$ là trực tâm $\triangle{XYZ}$. Chứng minh rằng $H,K,X,Y$ đồng viên.

Bài toán 4 [CHINA TST 2016-TST 1-Ngày 1]. $ABDCEF$ là lúc giác nội tiếp đường tròn thỏa mãn $AB=BC=CD=DE$. $K$ là điểm nằm trên cạnh $AE$ thỏa mãn $\angle{BKC}=\angle{KFE}, \angle{CKD}=\angle{KFA}$. Chứng minh rằng $KC=KF$.

Bài toán 5 [CHINA TST 2016-TST 1-Ngày 2]. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$. Tia phân giác trong các góc  $A,C$ cắt nhau tại $I$, $B,D$ cắt nhau tại $J$. $AB,CD,BC,DA$ cắt $IJ$ lần lượt tại $P,R,Q,S$. Trung điểm các cạnh $PR,QS$ lần lượt là $M,N$, Giả sử $O$ không nằm trên $IJ$, chứng minh rằng $OM\perp ON$.   

Bài toán 6 [CHINA TST 2016-TST 2-Ngày 1]. $P$ là $1$ điểm bất kì trong tam giác $ABC$. $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng với các cạnh $BC,CA,AB$ của $P$. Tia $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ tại $L,M,N$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PDL},\triangle{PEM},\triangle{PFN}$ đồng quy tại điểm $T$ khác $P$.

Bài toán 7 [CHINA TST 2016-TST 2-Ngày 2]. Các đường chéo của tứ giác nội tiếp $ABCD$ cắt nhau tại $P$ và $1$ đường tròn $\gamma$ tiếp xúc đường thẳng $AB,BC,AD,DC$ lần lượt tại $X,Y,Z,T$. Đường tròn $\omega$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc ngoài $\gamma$ tại $S$. Chứng minh rằng $SP\perp ST$.

Bài toán 8 [CHINA TST 2016-TST 3-Ngày 1]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp thỏa mãn $AB>BC,AD>DC,I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle{ABC},\triangle{ADC}$. Đường tròn đường kính $AC$ cắt cạnh $IB$ tại $X$, cắt đường thẳng $JD$ tại $Y$. Chứng minh rằng nếu $4$ điểm $B,I,J,D$ đồng viên thì $X,Y$ đối xứng qua $AC$.   

Bài toán 9 [CHINA TST 2015-TST 1-Ngày 1]. Đường tròn $\gamma$ đi qua $A$ của tam giác $ABC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $P$ qua $EF$ nằm trên $BC$ khi và chỉ khi $\gamma$ đi qua $O$ ($O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.   

Bài toán 10 [CHINA TST 2015-TST 2-Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$ là tam giác nhọ với $O,G$ lần lượt là tâm ngoại tiếp, trọng tâm tam giác. $D$ là trung điểm của $BC$ và $E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ sao cho $E$ nằm trong tam giác $ABC$ và $AE\perp BC$. $F=EG\cap OD$ và $K,L$ nằm trên $BC$ sao cho $ FK \parallel OB, FL \parallel OC . $. Điểm $M$ thuộc $AB$ sao cho $MK\perp BC$ và $N$ thuộc $AC$ sao cho $NL\perp BC$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc $OB,OC$ tại $B,C$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle{AMN}$ tiếp xúc với $\omega$.

Bài toán 11 [CHINA TST 2015-TST 3-Ngày 1]. $\triangle{ABC}$ là tam giác cân tại $A$. $D$ nằm trong tam giác sao cho $DA=DB+DC$. Đường trung trực của $AB$ cắt phân giác ngoài $\angle{ADB}$ tại $P$, $Q$ là giao điểm của trung trực $AC$ và phân giác ngoài $\angle{ADC}$. Chứng minh rằng $B,C,P,Q$ đồng viên.

Bài toán 12 [CHINA TST 2014-TST 1-Ngày 1]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp sao cho $2$ đường chéo $AC,BD$ vuông góc với nhau. $F$ nằm trên cạnh $BC$, $E$ thuộc $AB$ sao cho $EF\parallel AC$, $FG\parallel BD$ ($G\cap CD$). $P,Q,R$ lần lượt là hình chiếu của $E,F,G$ trên $CD,DA,AB$. Chứng minh $QF$ là phân giác $\angle{PQR}$.  

Bài toán 13 [CHINA TST 2014-TST 2-Ngày 2]. Cho đường tròn $(O;R)$, tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ thỏa mãn $AB$ là cạnh lớn nhất.$AH_{A},BH_{B},CH_{C}$ là các đường cao. $D$ là điểm đối xứng với $H_{A}$ qua $H_{A}H_{C}$. $P$ là giao điểm của $AD,BE$, $H$ là trực tâm $\triangle{ABC}$. Chứng minh $OP.OH$ không đổi và tìm giá trị đó. 

Bài toán 14 [CHINA TST 2014-TST 3-Ngày 1]. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$. $H_{A}$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $AO$ cắt $(BOC)$ tại $A'$. Hình chiếu của $A'$ trên $AB,AC$ là $D,E$ và $O_{A}$ là tâm của $(DH_{A}E)$. Xác định $H_B, O_B, H_C, O_C$. Chứng minh $H_AO_A, H_BO_B, H_CO_C$ đồng quy.

Bài toán 15 [CHINA TST 2013-Ngày 1]. $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn $\omega$. $F$ là giao điểm của $AC,BD$ và $E$ là giao điểm của $BA,CD$. Hình chiếu của  $F$ lên $AB,CD$ là $G,H$. $M,N$ là trung điểm $BC,EF$. Giả sử $(MNG)$ cắt $BF$ tại $P$, $(MNH)$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ\parallel BC$.   

Bài toán 16 [CHINA TST 2013-Ngày 2] Cho $P$ là điểm nằm trong $\triangle{ABC}$. $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC,CA,AB$ và $PL:PM:PN=BC:CA:AB$.Các đường thẳng $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ tại $D,E,F$.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp  của các tam giác $APF,APE,BPF,BPD,CPD,CPE$ đồng viên. 

Bài toán 17 [CHINA TST 2013-Ngày 5] Cho $\triangle{ABC}$ có tâm ngoại tiếp là $O$. $P$ là điểm chính giữa cung $BAC$ và $QP$ là đường kính. $I$ là tâm nội của $\triangle{ABC}$, $PI\cap BC=D$. $(AID)$ cắt đường thẳng $PA$ tại $F$. $E$ nằm trên $PD$ sao cho $DE=DQ$. $R,r$ lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của $\triangle{ABC}$. Chứng minh rằng nếu $\angle{AEF}=\angle{APE}$ thì $\sin^{2}\angle{BAC}=\frac{2r}{R}$. 

Bài toán 18 [CHINA TST 2012-TST 1 -Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$, đường tòn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $L,N,M$ lần lượt là điểm đối xứng với $D$ qua $EF$, với $F$ qua $DE$, với $E$ qua $FD$. $AL$ cắt $BC$ tại $P$, $BM$ cắt $CA$ tại $Q$, $CN$ cắt $AB$ tại $R$. Chứng minh rằng $P,Q,R$ thẳng hàng.

Bài toán 19 [CHINA TST 2012-TST 1 -Ngày 2]. Cho 2 đường tròn $\omega_1, \omega_2$, tập $S$ là kí hiệu tất cả các $\triangle{ABC}$ thỏa mãn $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$, $\omega_2$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $\triangle{ABC}$, $\omega_2$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Giả sử tập $S$ không là tập rỗng, chứng minh rằng trọng tâm $\triangle{DEF}$ là $1$ điểm cố định. 

Bài toán 20 [CHINA TST 2012-TST 3 -Ngày 1]. Cho tam giác nhọn $\triangle{ABC}$, $\angle{A} \ge 60^{\circ}$, $H$ là trực tâm. $M,N$ là $2$ điểm nằm trên $AB,AC$ sao cho $\angle HMB=\angle HNC=60^{\circ}$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$. $D$ là điểm nằm cùng phía với $A$ bờ $BC$ sao cho $\triangle{DBC}$ là tam giác đều. Chứng minh $H,O,D$ thẳng hàng.

Bài toán 21 [CHINA TST 2011-TST 1 -Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC>CA>AB$, đường tròn chín điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của $\triangle{ABC}$ tại $T,T_A,T_B,T_C$. Chứng minh cạnh $TT_B$ và đường thẳng $T_{A}T_{C}$ cắt nhau.
 

Bài toán 22 [CHINA TST 2011-TST 1 -Ngày 2]. $1$ trong $2$ giao điểm của $2$ đường tròn $(O_1),(O_2)$ là $P$. Tiếp tuyến chung của $2$ đường tròn lần lượt tiếp xúc tại $A,B$, đường thẳng qua $A$ vuông góc $BP$ cắt $O_1O_2$ tại $C$. Chứng minh rằng $AP\perp PC$. 

Bài toán 23 [CHINA TST 2011-TST 2 -Ngày 2]. $AA', BB', CC'$ là các đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $P$ là $1$ điểm bất kì trong tam giác, và $D,E,F$ lần ượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là điểm sao cho $D$ là trung điểm $A'X$, $Y$ là điểm sao cho $E$ là trung điểm $B'Y$, và $Z$ là điểm sao cho $F$ là trung điểm $C'Z$. Chứng minh rằng $\triangle{XYZ} \sim \triangle{ABC}$

Bài toán 24 [CHINA TST 2011-TST 3 -Ngày 1]. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\gamma$. $P$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$, $M$ nằm trên cung $AC$ không chứa $B$ sao cho $H$ nằm trên $PM$. $K$ nằm trên $\gamma$ sao cho $KM$ song song với đường thẳng $Simson$ của $P$ với tam giác $ABC$. $Q$ nằm trên $\omega$ sao cho $PQ\parallel BC$. Cạnh $BC,KQ$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh ràng $\triangle{KJM}$ là tam giác cân.

Bài toán 25 [CHINA TST 2010- Quiz 1 ] Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $E$,  và $B$ nằm giữa $A,E$. đường thẳng $AD,BC$ cắt tại $F$, và $D$ nằm giữa $A,F$. $(BEC)\cap (CFD)={C;P}$. Chứng minh rằng nếu $\angle{BAP}=\angle{CAD}$ khi và chỉ khi $BD\parallel EF$.

Bài toán 26 [CHINA TST 2010- Quiz 2] Cho $\triangle{ABC}$ là tam giác nhọn với $AB>AC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp.
$M,N$ là trung điểm $AC,AB$. $D,E$ nằm trên $AC,AB$  sao cho $BD\parallel IM$ và $CE\parallel IN$. $1$ đường thẳng đi qua $I$ song song $DE$ cắt $BC$ tại $P$. $Q$ là hình chiếu của $P$ trên $AI$. Chứng minh $Q$ nằm trên $(ABC)$.

Bài toán 27 [CHINA TST 2010- Quiz 3] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Giả sử $\triangle ADC$ nhọn và $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}$. $\gamma$ là đường tròn đi qua $A,D$, tiếp xúc với $AB$, $E$ là $1$ điểm nằm trên $\gamma$ và nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng $AE\perp EC$ khi và chỉ khi $\frac{AE}{AB}-\frac{ED}{AD}=1$.

Bài toán 28 [CHINA TST 2010- Quiz 4] Cho $\triangle{ABC}$ nhọn, $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $M,N$ là trung điểm $AB,AC$. $\gamma_1$ và $\gamma_2$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDM$ và $\triangle CDN$. $K=\gamma_1 \cap \gamma_2$. $P$ là điểm bất kì thuộc $BC$ và $E,F$ nằm trên $AC,AB$ sao cho $PEAF$ là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu $MN$ là tiếp tuyến chung của $\gamma_1$ và $\gamma_2$ thì $K,E,A,F$ đồng viên.

Bài toán 29 [CHINA TST 2010- Quiz 6] Cho $\omega$ là nửa đường tròn với $AB$ là đường kính. $\omega_1,\omega_2$ là $2$ đường tròn đều tiếp xúc $\omega$ và $AB$ đồng thời $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc với nhau. $P,Q$ lần lượt là điểm tiếp xúc của $\omega_1,\omega_2$ với $AB$, $P$ nằm giữa $A,Q$. $C$ là tiếp điểm của $2$ đường tròn $\omega_1$ và $\omega$. Tính $\tan \angle{ACQ}$.

Bài toán 30 [CHINA TST 2010-Ngày 1] Cho $\triangle{ABC}$ nhọn với $AB>AC$. $M$ là trung điểm của $BC$. $P$ là điểm nằm trong tam giác $AMC$ sao cho $\angle MAB=\angle PAC$. $O,O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP$. Chứng minh đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm $O_1O_2$.

Bài toán 31 [CHINA TST 2009-Quiz 1]. Cho đường tròn $\omega$ tiếp xúc trong với $\Gamma$ tại $S$. $\omega$ tiếp xúc với dây cung $AB$ của $\Gamma$ tại $T$. $O$ là tâm của $\omega$. $P$ nằm trên đường thẳng $AO$. Chứng minh rằng $PB\perp AB$ khi và chỉ khi $PS\perp TS$.

Bài toán 32 [CHINA TST 2009-Quiz 3]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp với $CB,DA$ là phân giác $\angle{DCA},\angle{CDB}$. Các điểm $E,F$ nằm trên tia $AC,BD$ sao cho tứ giác $CEFD$ nội tiếp. $P$ là điểm thỏa mãn $DA,CB$ là các phân giác giác trong của  $ \angle PDE,\angle PCF$. $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $P$ nằm trên $AB$ khi và chỉ khi $Q$ nằm trên đoạn $EF$.

Bài toán 33 [CHINA TST 2009-Quiz 4]. Cho điểm $D,E$ nằm trên các cạnh $AB,BC$ của $\triangle{ABC}$, $P$ nằm trong $\triangle{ABC}$ sao cho $PE=PC$ và $ \bigtriangleup DEP\sim \bigtriangleup PCA.$ Chứng minh rằng $BP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PAD}$.

Bài toán 34 [CHINA TST 2009-Quiz 5]. Trong tam giác $ABC$, $P,Q$ nằm trên các cạnh $AB,AC$. $(ABC)$ cắt $(APQ)$ tại $X$. $Y$ là hình chiếu của $X$ trên $PQ$. Cho $PX>PB$. Chứng minh rằng $S_{\triangle{XPQ}}=S_{\triangle{YBC}}$.

bài này sử dụng thặng dư trung hoa mà chưa có thời gian latex

Bài toán 24: Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $S(n)$ khi cho $n$ chạy trên các bội của $2003$.

Lời giải bài 22: 

Xét đa thức bậc 2 $f(x)= (2x-1)(3x-1)$ 

 Nhận thấy rằng với mỗi số nguyên dương $n$ thì ta luôn có $n= 2^{k}.t$ với $k \in \mathbb{N}$ và $t$ lẻ.

Nếu $k=0$ thì $(2;n)=1$ suy ra tồn tại số nguyên $x$ sao cho $2x \equiv 1 (mod n)$ ($x$ là nghịch đảo của 2 modulo n)

 Suy ra tồn tại $x$ nguyên để $n \mid 2x-1$ hay $n \mid (2x-1)(3x-1) = f(x)$.

Nếu $k \geq 1$ thì $(3;2^{k})=1 \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}: 3a \equiv 1 (mod 2^{k} ).$

                          $(2;t)=1 \Rightarrow \exists b \in \mathbb{Z} : 2b \equiv 1 (mod t)$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa và $(2^{k};t)=1$ thì $\exists x \in \mathbb{Z} $ thỏa mãn:

                                                                               $x \equiv a (mod 2^{k})$

                                                                               $x \equiv b (mod t)$

 Hay $\exists x \in \mathbb{Z} : 2^{k} \mid 2x-1, t \mid 3x-1 \Rightarrow n \mid f(x)$                                                                         

Tóm lại với mọi số nguyên dương $n$ thì luôn tồn tại số nguyên $x$ để $n \mid f(x)$

Bài 22: Chứng minh rằng tồn tại đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên và không có nghiệm nguyên thỏa mãn

           Với mỗi số nguyên dương $n$ thì luôn tồn tại $x \in \mathbb{Z}$ sao cho $n \mid P(x)$.

Turn on với 1 bài số hay

Cho $d$ là 1 ước dương của $n$ $(n \in \mathbb{N*})$. Một bộ $(x_1,x_2,....,x_n)$ nguyên dương được gọi là có tính chất $F$ nếu $d\mid x_1 + x_2 +...+x_n$ và $1\leq x_1 \leq x_2 \leq...\leq x_n \leq n$. Đặt S là tập tất cả các bộ có tính chất F, chứng minh rằng có đúng 1 nửa số phần tử của S có tính chất $x_n = n$

P/s: bài này dùng song ánh nhưng chưa tìm ra được song ánh nào thỏa mãn :V.

Bài 4: Gọi $a_{i}$ là số ô vuông được tô đỏ trên hàng thứ $i$. Khi đó $S=\sum_{i=1}^{13}{a_i}$.

Số cặp ô vuông tô đỏ trên cùng 1 hàng là $\binom{a_i}{2} \Rightarrow$ số cặp ô vuông tô đỏ trên bảng là $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}}$

Ta có kí hiệu tọa độ của mỗi ô vuông là $(a_i,b_i)$ với $a_i$ là số thứ tự hàng và $b_i$ là số thứ tự cột.

 Khi đó tọa độ của mỗi cặp ô vuông là $(a_i,b_i,a_j,b_j)$. Ta thực hiện động tác chuyển tất cả các cặp ô vuông được tô đỏ vào hàng thứ 1 bằng cách cho chiếu thẳng đứng từng cặp ô vuông tương ứng với 1 cặp ô vuông ở hàng 1, khi đó $b_i,b_j$ không có ý nghĩa nữa ( cùng bằng 1 ) $\Rightarrow$ tọa độ của 1 cặp ô vuông tô đỏ được xác định $(a_i,a_j)$

Lúc này ta không có cặp ô vuông nào được tô đỏ cùng tọa độ. Thật vậy giả sử có 2 cặp ô vuông tô đỏ có tọa độ bằng nhau $(a_i,a_j) = (a'_i ,a'_j )$ suy ra 2 cặp ô vuông này thằng đứng với nhau ( Vô lí vì khi trước lúc chuyển 2 cặp ô vuông này đã tạo thành 1 hình chữ nhật có 4 góc tô đỏ ).

Vậy các cặp ô vuông tô đỏ phân biệt với nhau, cùng nằm trên 1 hàng $\Rightarrow$ tất cả các cặp ô vuông tô đỏ sẽ là các cặp ô vuông khác nhau cùng nằm trên 1 hàng

 Vì thế tổng số cặp ô vuông được tô đỏ nhỏ hơn hoặc bằng tổng số cặp ô vuông cùng 1 hàng hay $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}} \leq \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow \sum_{i=1}^{13}{\frac{a_i(a_i -1)}{2}} \leq  \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow  \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}} - S \leq 2. \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow \frac{1}{13}. \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 - S \leq  2. \binom{13}{2}$

 Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ thì $\sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 \geq  (\sum_{i=1}^{13}{a_i})^{2} = S^{2}$

Suy ra $\frac{S^{2}}{13}-S \leq 156 \Rightarrow S \leq 52$ vậy có thể tô đỏ tối đa $52$ ô vuông thỏa mãn bài toán.

1. Bổ đề: Số các tập con không 2 phần tử liên tiếp của $S={1,2,..,n}$ là $F_{n}$ với $F_{n}$ là số $Fibonacci$ thứ $n$.

  Chứng minh.

Đặt $A_{n}$ là số tập con không chứa 2 phần tử liên tiếp nào của tập $S={1,2,...,n}$

Xét các tập con thỏa mãn không chứa $n$ thì các tập này là tập con của $S={1,2,...,n-1}$

 $\Rightarrow$ có $A_{n-1}$ tập con thỏa.

Xét các tập con thỏa mãn chứa $n$ thì tập có dạng ${a_{1},a_{2},....,a_{k},n}$ 

Thấy rằng $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ không chứa $n-1$ và là tập con của $S={1,2,....,n-1}$ đồng thời không chứa 2 phần tử nào liên tiếp

 $\Rightarrow$ có $A_{n-2}$ tập con thỏa.

Vậy $A_{n}=A_{n-1}+A_{n-2}$ suy ra $A_{n}= F_{n}$ nên số tập con thỏa mãn bài toán là $F_{n}$.

Xét $S={1,2,....,n}$ 

Xét 3 loại tập con: loại 1 là các tập con chứa $n,n-1$, loại 2 chứa $n$ nhưng không chứa $n-1$, loại 3 không chứa $n$

Loại 1 có $F_{n-2}$ tập con.

Loại 2 có $c_{n-2}$ tập con.

Loại 3 có $c_{n-1}$ tập con.

Vậy $c_{n}=c_{n-1}+c_{n-2}+F_{n-2} \Rightarrow c_{n}= \frac{ 2nF_{n+1} - (n+1)F_{n}}{5}$ với $F_{n}$ là số Fibonacci thứ n.

2. Hướng đi: Chứng minh $n=25$ là số nhỏ nhất thỏa mãn.

Lời giải trên có vẻ chưa chặt chẽ cho lắm    mặc dù ý tưởng đúng 

Lời giải:

Từ đề bài ta có $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=1$. (1)

Ta xét tập $A_{1}$ và $n-1$ tập còn lại. Ta có $\left | A_{1}\cap A_{j} \right |=1$ trong đó $2\leq j \leq n$

Vì tập $A_{1}$ có $k$ phần tử nên theo nguyên lí $Drichlet$ thì tồn tại $1$ phần tử $x$ thuộc $A_{1}$ lÀ phần tử chung của ít nhất $m=\frac{n-1}{k} > k-1 (2)$ tập hợp.

Ta sẽ chứng minh $m=n-1$

Dễ thấy $m \leq n-1$

Giả sử rằng $m< n-1$. Lúc đấy sẽ tồn tại $1$ tập hợp $A_{o}$ không chứa phần tử $x$.

Nhưng mà $\left | A_{1}\cap A_{o} \right |=1$ Gọi phần tử đó là $b$.

Gọi giao của $A_{o}$ và tập hợp $A_{l}$ là $t$ trong đó $1\leq l \leq m$ nghĩa là $A_{l}$ là 1 tập hợp bất kì trong những tập hợp chứa $x$.

Ta thấy rằng $b\neq t$ vì nếu $b=t$ thì giao của $A_{1}$ và $A_{l}$ là $x,b$ ( vô lí )

Với $l=\overline{1;m}$ thì $t_{1}\neq t_{2}....\neq t_{m}$ Vì nếu giả sử rằng $t_{p}=t_{q}$ $(1\leq p,q \leq m)$

ThÌ giao của tập hợp $A_{p}$ và $A_{q}$ sẽ là $x, t_{p}=t_{q}$ (Vô lí vì (1))

Từ đó tập $A_{o}$ sẽ chứa $b,t_{1},....t_{m}$ tức là $m+1$ phần tử khác nhau mà $\left | A_{o} \right |=k$ nên $m+1 \leq k$  vô lí với (2).

Vậy điều giả sử là sai tức là $m=n-1$ có nghĩa là $\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}={x}$ mà $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=1$

Nên theo công thức bao hàm loại trừ thì ta có$\left | \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \right |=n(k-1)+1$

Quyển này đã có 6th Edition nhưng vì lí do bản quyền nên chỉ còn mỗi quyển 4th Edition

Link đây: https://www.dropbox....bd/842.pdf?dl=0

Bài số 1: Đây là một bổ đề trong bài viết của mình   https://diendantoanh...ac1a2-a1-leq-3/

$1$ cách khác 

Đặt $a^{2}=m; b^{2}=n$

Ta có $mn-m-n+1=(a^{2}-1)(b^{2}-1)$

Vì $a,b$ là các số lẻ liên tiếp nên tồn tại $1$ số không chia hết cho $3$ giả sử số đó là $a$ khi đó $(a^{2}-1) \vdots 3$ hay $(a^{2}-1)(b^{2}-1) \vdots 3$

Vì $m,n$ là các số chính phương lẻ nên $m,n \equiv 1 (mod 8)$ suy ra $(m-1)(n-1) \vdots 2^{6}$

mà $(3;2^{6})=1$ suy ra $mn-m-n+1 \vdots 192$

Tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì ta có $k \geq \frac{4}{3}$

Vậy ta sẽ chứng minh tại $k=\frac{4}{3}$ thì ta có bất đẳng thức đúng.

Ta cần chứng minh $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

Ta có $\frac{3}{4}(a.1+(b+c).1)^{2} \leq\frac{3}{4}(a^{2}+1)((b+c)^{2}+1)$

Bây giờ ta cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}((b+c)^{2}+1)$

                                            $\Leftrightarrow 4b^{2}c^{2}-4bc+1+b^{2}-2bc+c^{2} \geq 0$

                                            $\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$  (Hiển nhiên là đúng)

Vậy $k$ nhỏ nhất bằng $\frac{4}{3}$