NHoang1608

Câu 2 xét hàm $g(x)=f(f(x))=\frac{2x^{2}+4x+2}{x^{2}+2x+5}$ Xét tính đơn điệu hàm $g$

Chia dãy $x_{n}$ thành $2$ dãy chẵn và dãy lẻ với các số hạng đầu là $0$ và $2$. Từ tính đơn điệu hàm $g$ ta có dãy chẵn tăng và chặn trên bởi $1$ (quy nạp)

Tương tự dãy lẻ giảm và chặn dưới bởi $1$. Và cả $2$ dãy này đều có giới hạn $1$ suy ra giới hạn của $x_{n}$ là $1$

chứng minh quy nạp được $u_{n}$ thuộc đoạn $[0,2]$. Xét 2 dãy $a_{n},b{n}$ như sau:

$a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n}+1}{3-\sqrt{u_{n-1}}}$

$b_{1}=2, b_{n}=\frac{b_{n}+1}{3-\sqrt{u_{n-1}}}$ 

2 dãy này đều có giới hạn bằng $1$ 

từ đây chứng minh được quy nạp $a_{n} \leq min{u_{2n},u_{2n+1}}$ , $b_{n} \geq max{u_{2n},u_{2n+1}}$. theo nguyên lí kẹp thì giới hạn của dãy $u_{2n}$, $u_{2n+1}$ bằng $1$ suy ra giới hạn của $u_{n}$ là $1$..

$f,g$ bất khả quy nên chúng nguyên tố cùng nhau trên $Z$ giả sử chúng phân biệt thì tồn tại các đa thức $P,Q$ hệ số nguyên và số nguyên $a$ khác 0 sao cho:

$f.P+g.Q=a$ với mọi $n$ theo định lí $Bezout$. Gọi $p$ là ước của $f,g$ suy ra $p$ ước của $a$ mà theo định lí $schur$ thì tập ước nguyên tố của đa thức $f$ là vô hạn nên suy ra $a$ có vô hạn ươc nguyên tố (vô lí vì $a$ khác 0). Đpcm

Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.

Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.

Sử dụng tính chất: phương trình hàm đa thức $P(f).P(g)=P(h)$, $deg f+deg g=deg h$ với mỗi $n$ nguyên dương trình thì tồn tại nhiều nhất $1$ đa thức bậc $n$ thỏa mãn phương trình trên. Tính chất 2: Nếu P(x) là đa thức thỏa mãn thì $P(x)^{n}$ cũng vậy, tính chất này suy ra từ việc nếu P,Q thỏa mãn thì $PQ$ cũng vậy. Với $n=1$ thì phương trình thỏa mãn là $P(x)=2x+3$ suy ra các đa thức thỏa mãn là $(2x+3)^{n}$

thử bài 6 với lời giải khác. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$. $E,F$ là tiếp điểm của $(I)$ với $AB,AC$. Gọi $T$ là giao của $MN,EF,AI$ (theo tính chất quen thuộc thì 3 đường này đồng quy). Bằng định lí $Sin$ ta chứng minh được $\frac{GD}{DK}= \frac{ED}{DT}$ mà $\frac{ED}{DT}=\frac{DB}{DM}$ hay $BG \parallel KM$ hay $K$ là trung điểm $CL$

Mình có biết bổ đề sau nhưng không biết tên nên không tìm được trên mạng.

Cho dãy $a(n)$ là $1$ dãy số nguyên dương tăng vô hạn. Nếu $\lim_{n \to \infty } \frac{a(n)}{n}=0$ thì tập các số tự nhiên $N$ là tập con của tập {${\frac{n}{a(n)},n \to \infty}$}. Nếu chứng minh được bổ đề này thì ta có 1 kết quả rất mạnh trong số học như sau:

$f(n)$ là 1 hàm số $N \to N$ và đồng biến, $\lim_{n \to \infty } \frac{f(n)}{n}=0$ thì tồn tại vô hạn số $n$ nguyên dương sao cho $f(n)$ là ước của $n$

Ví dụ: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương sao cho $1+[\sqrt{n}]+[\sqrt{n+1}]+[\sqrt{n+2018}]$ là ước của $n$

Sử dụng kết quả $\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^{k} (mod p)$ với $p$ nguyên tố và $0\leq k \leq p-1$

Với đẳng thức $k.\binom{p}{k}=p\binom{p-1}{k-1}$ thì ta có điều phải chứng minh.

Mở rộng là: $B=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{4}}.(-1)^{k-1}.\binom{p}{k} \equiv 3(2^{p-1}-1) (mod p^{2})$ (VMO 2017)

Hình như chỉ có một cách giải dễ hiểu đó thôi. Chứng minh tổng quát luôn cho số bội của $k$

bài shortlist 2009 N7 không sử bổ đề này mà. Nhầm với bài $a,b$ là số nguyên dương thỏa mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương sao cho $(a^{n}-1)(b^{n}-1)$ không là số chính phương. Bổ đề trên có thể chứng minh bằng thặng dư trung hoa với $drichlet$. Phản chứng ngược lại bổ đề ta có đpcm.

Vẫn chưa hiểu lời giải bài 1 cho lắm  . 

Bài toán 2: (VMO 2002 ?) Tìm hiểu kết quả ở 1 lớp học, người ta nhận thấy rằng hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi hơn môn vật lí, hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn vật lí cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn văn, hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn lịch sử, và hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn lịch sử cũng đạt điểm giỏi ở môn toán.

a) Chứng minh rằng trong lớp học nói trên , có ít nhất $1$ học sinh đạt điểm giỏi ở cả $4$ môn toán, vật lí, văn, lịch sử.

b) Hỏi có thể thay thế số $\frac{2}{3}$ ở trên bởi 1 thực $k$ thuộc $(0,1)$ nào hay không để bài toán vẫn đúng ?

Lâu ngày a cho 1 bài khá hay nhé  

Bài 15: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $0 < x,y,z < 1$ và $xy+yz+zx+2xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

Bài toán 1: Cho dãy số tự nhiên lẻ $u_{1},u_{2},..,u_{n}$ sao cho $u_{i}$ khác $u_{j}$ nếu $i$ khác $j$; ngoài ra nọi số $u_{i}$ đều không có ước nguyên tố vượt quá $5$. Chứng minh rằng $u_{1}+u_{2}+....+u_{n} > \frac{8n^{2}}{15}$

Bài toán 2: Dãy số ${u_{n}}$ xác định như sau :

         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=20; u_{2}=100\\ u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1976 \end{matrix}\right.$

      Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số hạng của dãy số trên chia hết cho $1996$

Trên là tất cả các bài toán hình học phẳng trong kì thi China TST 2017-2007 còn tiếp theo đây là những bài hình học ChinaTST các năm trước 2007 mà mình cảm thấy hay và độc đáo chứ không tổng hợp toàn bộ như trên nữa.

Bài toán 48 [CHINA TST 2006-TST- Ngày 1]. $ABCD$ là hình thang có $AB\parallel CD$. Kí hiệu đường tròn $\omega_1$ tiếp xúc $DA,AB,BC$ và $\omega_2$ tiếp xúc với $BC,CD,DA$. $l_1$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với $\omega_2$, $l_2$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $\omega_1$.
Chứng minh rằng $l_1\parallel l_2$.

Bài toán 49 [CHINA TST 2005-TST- Ngày 1]. Cho tứ $ABCD$ nội tiếp $(O)$, $P$ là giao điểm của $2$ đường chéo $AC,BD$. $(O_1)$ đi qua $P,B$, $(O_2)$ đi qua $P,A$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $P$ và $Q$. $(O_1),O_(2)$ cắt $(O)$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $PQ,CE,DF$ đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Bài toán 50 [CHINA TST 2005-Quiz 1]. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Dường tròn $A-mixtilinear$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc $\omega,AB,AC$ lần lượt tại $S,P,Q$. $AS\cap PQ=T$. Chứng minh rằng $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$.

Bài toán 51 [CHINA TST 2004-Quiz 3]. Cho $2$ đường tròn có cùng bán kính có tâm là $O_1,O_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Gọi $O$ là trung điểm $PQ$. $2$ đường thẳng $AB,CD$ đi qua $P$ sao cho $A,C$ nằm trên $(O_1)$ và $B,D$ nằm trên $(O_2)$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$. Giả sử $2$ tâm đường tròn nằm ngoài phần chung của $2$ đường tròn. Chứng minh rằng $M,N,O$ thẳng hàng. (Nguồn gốc của bài toán kinh điển trong nhiều sách toán cấp $2$ mà không ghi nguồn )

Bài toán 50 [CHINA TST 2003-TST-Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ nằm trên $BC$ sao cho $AD$ là phân giác trong $\angle{A}$. $E,F$ là hình chiếu của $D$ nằm trên $AC,AB$. Giả sử $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $(AFH)$ cắt $BE$ tại $G$. Chứng minh rằng tam giác được tạo ra bằng các giao điểm của $BG,GE,BF$ là tam giác vuông.

Bài toán 35 [CHINA TST 2009-TST ngày 1]. Cho tam giác $ABC$. $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $ \angle CAD = \angle CBA.$ $(O)$ đi qua $2$ điểm $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $E,F$. $BF \cap DE =G$. $M$ là trung điểm của $AG$. Chứng minh rằng $CM\perp AO$.

Bài toán 36 [CHINA TST 2008-Quiz 1]. $P$ nằm trong $\triangle{ABC}$, $A_1$ là giao điểm thứ $2$ của đường thẳng $AP$ với $(PBC)$ và ta xác định tương tự các điểm $B_1,C_1$. \\ Chứng minh rằng $\left(1 + 2\cdot\frac {PA}{PA_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PB}{PB_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PC}{PC_{1}}\right)\geq 8$.

Bài toán 37 [CHINA TST 2008-Quiz 2] . Cho $\triangle{ABC}$, đường thẳng $l$ bất kì cắt $ BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $ O_{1},O_{2},O_{3}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ AEF,BFD,CDE$. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $ O_{1}O_{2}O_{3}$ nằm trên $l$.

Bài toán 38 [CHINA TST 2008-Quiz 3] . Cho $P$ và $Q$ là $2$ điểm liên hợp đẳng giác của $\triangle{ABC}$.$ O_{1},O_{2},O_{3}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ PBC,PCA,PAB$. $ O'_{1},O'_{2},O'_{3}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ QBC,QCA,QAB$. $O$ là tâm $(O_{1}O_{2}O_{3})$, $O'$ là tâm $ O'_{1}O'_{2}O'_{3}$. Chứng minh ràng $OO'\parallel PQ$.

Bài toán 39 [CHINA TST 2008-Quiz 4]. Cho hình chữ nhật $ABCD$, $AB=b,AD=a (a \geq b)$. $X,Y,Z$ là $3$ điểm nằm trên biên của $ABCD$. Tìm giá trị lớn nhất của các khoảng cách giữa $2$ điểm trong $3$ điểm đã cho. (Tính theo $a,b$)

Bài toán 40 [CHINA TST 2008-Quiz 5]. Cho $\triangle{ABC}$ nhọn, $M,N$ là điểm chính giữa các cung $\widehat{CA},\widehat{AB}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là trung điểm của đoạn $MN$, $G$ nằm trên cung $\widehat{BC}$.$ I,I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC,ABG,ACG$. $P$ là giao điểm thứ hai của $(GI_1I_2)$ với $(ABC)$. Chứng minh rằng $3$ điểm $D,I,P$ thẳng hàng.

Bài toán 41 [CHINA TST 2008-TST-Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $AB>AC$. $BC$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác tại $E$. $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ nằm trên $AE$ sao cho $CE=CF$. Tia $CF$ cắt $BD$ tại $G$. Chứng mnh rằng $CF=FG$.

Bài toán 42 [CHINA TST 2007-Quiz 1]. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle{ABC}$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. $D,E$ nằm trên $AB,AC$ sao cho $ BD=CE=BC.$ Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IM$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc với $IN$ tại $P$. Chứng minh rằng $AP\perp BC$.

Bài toán 43 [CHINA TST 2007-Quiz 2]. Cho $n \geq 3$ điểm nằm trên mặt phẳng . Chứng minh rằng tồn tại $3$ điểm $A,B,C$  thỏa mãn $ 1\le\frac{AB}{AC}\le\frac{n+1}{n-1}.$

Bài toán 44 [CHINA TST 2007-Quiz 3]. Cho tam giác $ABC$. $\omega$ là đường tròn đi qua $2$ điểm $B,C$. $\omega_1$ tiếp xúc trong với $\omega$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $T,P,Q$. $M$ là điểm chính giữa cung $BC$( chứa điểm $T$) của $\omega$. Chứng minh rằng $PQ,BC,MT$ đồng quy.

Bài toán 45 [CHINA TST 2007-Quiz 5]. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. $BA,CD$ cắt nhau tại $H$. $AC,BD$ cắt nhau tại $G$. $O_1,O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AGD,BGC$. $O_1O_2$ cắt $OG$ tại $N$. $HG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGD,BGC$ lần lượt tại $P,Q$. $M$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh $NO=NM$.

Bài toán 46 [CHINA TST 2007-Quiz 6]. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$.$zeta$ là đường tròn tiếp xúc trong với $\omega$, và tiếp xúc với $BC,AD$ tại $M,N$. $I_1,I_2$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle{ABC},\triangle{ABD}$. Chứng minh $4$ điểm $ M,I_1,I_2,N$ thẳng hàng.

Bài toán 47 [CHINA TST 2007-TST- Ngày 1]. $A,B$ là $2$ điểm nằm trên đường tròn tâm $O$. $C$ nằm ngoài đường tròn, $CS,CT$ là các tiếp tuyến tới $(O)$.$M$ là điểm chính giữa cùn $AB$ của $(O)$. $MS,MT$    cắt $AB$ tại $E,F$. $2$ đường thẳng đi qua $E,F$ vuông góc với $AB$ cắt $OS,OT$ tại $X,Y$. đường thẳng qua $C$ cắt $(O)$ tại $P,Q$ ($P$ nằm trên cạnh $CQ$). $R$ là giao điểm của $MP$ và $AB$, và $Z$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.