Tea Coffee

Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$

=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2

$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Mình thấy không đúng lắm nếu thay các giá trị khi xảy ra dấu bằng thì dấu bằng sẽ có giá trị là $\frac{5}{2}$ chứ không phải là 3 . 

                                                                 Bài Làm

Vì  0$\leq$ x, y$\leq$ 1, $\leftrightarrow$  (1-x)(1-y)$\geq$0 <=> 1+xy $\geq$ x+y <=> $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{x+y}$

Mặt khác x+y+z=2 => x+y=2-z => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2-z}$  

Ta sẽ chứng minh :  $\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

                                <=> 2$\leq$ (2-z)(z+1) <=> 0$\leq$ z-z² <=> z-z² $\geq$ 0 <=> z(z-1) $\geq$ 0 -> Đúng ( vì  0$\leq$z $\leq$ 1)

=>$\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

CMT =>  $\frac{1}{xz+1}$ $\leq$ $\frac{y+1}{2}$

               $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{x+1}{2}$

=> $\frac{1}{xy+1}$ + $\frac{1}{xz+1}$ + $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{x+1}{2}$                                                                                                                                      = $\frac{x+y+z+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$

(vì x+y+z=2)

                                            Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Vậy maxp= $\frac{5}{2}$  khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Đề vòng 2

Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm các chữ số $x$ và $y$ sao cho $\overline{xxyy}=(\overline{xx})^{2}+(\overline{yy})^{2}$

b) Tìm chữ số tận cùng của số $N$ 

Câu 2: (3 điểm)

Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có nghiệm $x_{1},x_{2}$ và phương trình $x^{2}+cx+d=0$ có nghiệm $x_{3},x_{4}$. Chứng minh rằng $2(x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{4})(x_{3}+x_{4})=2(b-d)^{2}-(a^{2}-c^{2})(b-d)+(b+d)(a+c)^{2}$

Câu 3: (5 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $x^{2}-668xy-669y^{2}=2019$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+\frac{2}{x}+2y+\frac{2}{y}=9 \\ 4x^{2}+\frac{4}{x^{2}}+4y^{2}+\frac{4}{y^{2}}=25 \end{matrix}\right.$

Câu 4: (4 điểm)

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ lấy một điểm $M$ ($M$ khác $C,D$)  trên cung $CD$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $MA+MC=\sqrt{2}MB$

Câu 5: (4 điểm)

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Tiếp tuyến tại điểm $M$ ($M$ khác $A,B$) tùy ý trên đường tròn tâm $O$ cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$,$B$ tại $C,D$

a) Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho chu vi tam giác $COD$ nhỏ nhất

b) Gọi $E$ là giao điểm $OC$ và $AM$ , $F$ là giao $OD$ và $BM$. Xác định vị trí của điểm $M$ để đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CEFD$ có bán kính nhỏ nhất.

Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức

$Q=(\frac{\sqrt{x-2}}{3+\sqrt{x-2}}+\frac{x+7}{11-x}): \left [ (\frac{3\sqrt{x-2}+1}{x-3\sqrt{x-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{x-2}}).(\frac{3\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}+2}) \right ]$ với $x>2$ và $x$ khác $11$

Câu 2: (4 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy=2y-1 \\ x^{3}-x^{2}y+5x=y^{3}-xy^{2}+5y \end{matrix}\right.$

Câu 3: (4 điểm)

Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của $x$. Chứng minh rằng $6a,2b,a+b+c,d$ là số nguyên.

Câu 4: (4 điểm)

Trên đoạn thẳng $DE$ lấy điểm $C$ ( $C$ không trùng $D,E$). Dựng cùng phía hai hình chữ nhật $ABCD,GCEF$ sao cho $\frac{DC}{BC}=\frac{GC}{GF}=k$ ($k$ lớn hơn $0$ và là hằng số).  

a) Chứng minh $DG$ vuông góc $BE$

b) Gỉa sử $DG$ vuông góc $BE$ tại $H$. Chứng minh rằng $HC$ luôn đi một điểm cố định khi $C$ di động trên $DE$

Câu 5: (4 điểm)

a) Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

b) Một con ếch ngồi trên một ô vuông liền kề với ô vuông ở góc của bảng $5x5$ ( ô đánh dấu "x"). Nó nhảy sang từng ô vuông liền kề theo hàng hoặc theo cột mà không được nhảy chéo. Chứng minh rằng nếu con ếch nhảy vào mỗi ô vuông đúng một lần thì nó không thể nhảy hết tất cả các ô vuông của bảng $5x5$.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                    KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

      QUẢNG TRỊ

Bài 1: (4 điểm)

Cho $a=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

a) Chứng minh $a$ là nghiệm của phương trình $a^{2}-2a-4=0$

b) Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{a^{4}-4a^{3}+a^{2}+6a+4}{a^{2}-2a+12}$

Bài 2: (4 điểm)

1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=8 \\ x+y+2xy=2 \end{matrix}\right.$

2. Giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)^{2}(x+4)(x+5)=360$

Bài 3: (4 điểm)

1. Cho $a,b,c$ là các số thực bất kỳ. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$

2. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1$ và $ab+bc+ac=9$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 4: (6 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AC<AB$), gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $D$ là điểm nằm trên đoạn $AH$ ($D$ khác $A,H$). Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ tại $E$ và $F$ ($F$ nằm giữa $B$ và $D$) , $M$ là điểm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat{ACF}=2\widehat{BFM}$, $MF$ cắt $AH$ tại $N$.

a) Chứng minh $BH.BC=BE.BF$ và tứ giác $EFHC$ nội tiếp

b) Chứng minh $HD$ là phân giác góc $\widehat{EHF}$

c) Chứng minh $F$ là trung điểm $MN$

Bài 5: (2 điểm)

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}=\frac{2c}{b+c}$. Chứng minh $bc$ là số chính phương.