Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


khgisongsong

Đăng ký: 16-03-2017
Offline Đăng nhập: 06-04-2020 - 07:31
*****

#692181 Sử dụng phương pháp quy nạp toán học

Gửi bởi khgisongsong trong 03-09-2017 - 08:45

a,

có ${F_0}^2+{F_1}^2=F_1.F_2$ vì cùng =2 => đúng với n=1

giả sử đúng với n=k

=> ${F_0}^2+ {F_1}^2+ {F_2}^2+...+ {F_k}^2=F_k.F_{k+1}$

=> ${F_0}^2+ {F_1}^2+ {F_2}^2+...+ {F_k}^2+{F_{k+1}}^2=F_k.F_{k+1}+ {F_{k+1}}^2= F_{k+1}.( F_k+F_{k+1})=F_{k+1}.F_{k+2}$

=> đúng với n=k+1

vậy bài toán đúng với mọi n

b,

với n=1

$F_2.F_0-{F_1}^2=(-1)^{2}$ => đúng với n=1

giả sử đúng với n=k

=> $F_{k+1}.F_{k-1}-{F_k}^2=(-1)^{k+1}$

$F_{k+2}.F_{k}-{F_{k+1}}^2$

=$(F_{k+1}+F_{k}).F_k-{F_{k+1}}^2$

= ${F_k}^2+F_{k+1}.F_k-{F_{k+1}}^2$

=${F_k}^2-F_{k+1}.(F_{k+1}-F_k)$

=${F_k}^2-F_{k+1}.F_{k-1}$

=$ (-1).(-1)^{k+1}$ vì $F_{k+1}.F_{k-1}-{F_k}^2=(-1)^{k+1}$

=$(-1)^{k+2}$

=> đúng với $n=k+1$

vậy bài toán đúng với mọi n

c, đề sai với n=6 

vì nếu chọn k=3 ta có

$F_{n+1}=F_7=21$

$F_{k+1}.F_{k-1}+F_k.F_{n-k-1}=F_4.F_2+F_3.F_2=5.2+3.2=16$

 




#692006 phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi khgisongsong trong 01-09-2017 - 10:01

giải phương trình nghiệm nguyên dương $kq(k^2-q^2)=5x^2$

với k,q nguyên tố cùng nhau

p/s mình dự đoán là pt chỉ có 1 bộ nghiệm $k=5,q=4,x=6$ mong các bạn giúp đỡ




#691389 $c\geq 2(\frac{a-b}{2})^4$

Gửi bởi khgisongsong trong 24-08-2017 - 12:25

đặt $f(x)=(x+a)^4+(x+b)^4$

pt $f(x)=c$ có nghiệm $<=> max(f(x)) \geq c$ và $min(f(x))\leq c$

dễ thấy $ max(f(x) )=+\infty > c$

áp dụng bất đẳng thức phụ $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$f(x)\geq \frac{ ( (x+a)^2+(x+b)^2 )^2}{2}$ và $(x+a)^2+(x+b)^2=(x+a)^2+(-x-b)^2 \geq \frac{(x+a-x-b)^2}{2} =  \frac{(a-b)^2}{2} $

$<=> min(f(x)) = \frac{ ( \frac{(a-b)^2}{2} )^2}{2} =2.(\frac{a-b}{2})^4 <=> c\geq 2.(\frac{a-b}{2})^4 $




#691276 Số nguyên tố

Gửi bởi khgisongsong trong 22-08-2017 - 13:47

gọi số nguyên tố cần tìm là p

dễ thấy nếu p<=42 thì p=r vô lý vì r là hợp số

=>p>42

giả sử r và 42 có ước chung lớn nhất là d (d khác 1 )  $=> p \vdots  d => p=d \leq 42 $(loại)

=> r và 42 nguyên tố cùng nhau

đặt $r=A.q$ (với q là ước nguyên tố nhỏ nhất của r) => $A\geq q$

r và 42 nguyên tố cùng nhau $=>q $ và $A \geq 5$ ; A và 42 nguyên tố cùng nhau

mà $r<42,q \geq 5 =>A\leq 8$ mà A và 42 nguyên tố cùng nhau => A=5 =>q=5

=>r=25

thử các th 

p= 42+25 =67(thỏa mãn)

p=42.2+25=109( thỏa mãn)

p=42.3+25=151(thỏa mãn)

p=42.4+25=193 ( thỏa mãn)

p=42.5+25 >200 (loại)




#690306 Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầ...

Gửi bởi khgisongsong trong 12-08-2017 - 09:55

với $n\leq 3$ bài toán đúng

xét $n\geq 4$

giả sử k tồn tại số tự nhiên a để $S_n\leq a^2$ và $S_{n+1}\geq a^2$

=> tồn tại số tự nhiên k thỏa mãn $k^2 < S_n < S_{n+1} < (k+1)^2$

=>$ S_{n+1}-S_n<2k+1 => p_{n+1} < 2k+1$ với $p_{n+1}$ là số nguyên tố thứ n+1

 

xét bài toán phụ với i>4 thì $S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$

 

với i=5, $S_i=2+3+5+7+11<(\frac{11+1}{2})^2$

với i>5: $S_i=S_{i-1}+p_i< (\frac{p_{i-1}+1}{2})^2+p_i$ mà $p_i\leq p_i-2$

=> $S_i< (\frac{p_i-1}{2})^2+p_i=(\frac{p_i+1}{2})^2$

vậy$ S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$ với mọi i >4

 

=>$ k^2< S_{n+1} < (\frac{p_{n+1}+1}{2})^2 =>  p_{n+1}>2k-1$

mà $p_{n+1} < 2k+1 => p_{n+1}=2k$ (vô lý )

vậy điều giả sử ban đầu là sai => dpcm




#688502 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi khgisongsong trong 24-07-2017 - 13:02

câu 1 như thế này

có $(x+y)^2\geq 4xy => -xy \geq -\frac{(x+y)^2}{4}$

=> bdt ban đầu <=> $\frac{3(x+y)^2}{4} - \sqrt{3}(x+y)+1\geq 0$

<=> $(\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)-1)^2\geq 0$ ( luôn đúng với mọi x,y thuộc R)




#686740 Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên tố có dạng $4k + 3$.

Gửi bởi khgisongsong trong 06-07-2017 - 21:29

Lần sau bạn viết có chấm phẩy đàng hoàng nha bạn.

 

 

Ở đoạn cuối của câu trên, sao bạn là nói là "giả sử p ..."?

Mình thấy trong cách giải trên thì nó ghi là "Gọi ..." mà nhỉ?

Thêm nữa là đoạn này đang giải thích cho việc "Mỗi số dạng $4k + 3$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng đó.", vậy thì sao lại có thể áp dụng điều này để nói rằng nếu $p$ là hợp số và chưa nhỏ nhất (nhưng có dạng $4k + 3$) thì sẽ có thêm 1 ước nữa dạng $4k + 3$?

 

dùng mệnh đề này cho đoạn chứng minh p có ước dạng 4k+3 :

một hợp số n=4k+3 luôn có 1 ước dạng 4a+3 ( n nguyên tố thì hiển nhiên đúng rồi)

cách chứng minh

giả sử hợp số n=4k+3 không có ước nào dạng 4a+3

$=> 4k+3 = (4a_1+1).(4a_2+1)...(4a_m+1)$

dễ thấy vô lý vì vế phải chia 4 dư 1, vế trái chia 4 dư 3

vậy điều giả sử là sai => hợp số dạng 4k+3 luôn có 1 ước dạng 4a+3




#686514 Min $A=\sqrt{x^3+2(1+\sqrt{x^3+1})}+\...

Gửi bởi khgisongsong trong 04-07-2017 - 23:22

dk $x^3+1\geq 0 <=>x\geq -1$

$\sqrt{x^3+2(1+\sqrt{x^3+1})}=\sqrt{(x^3+1)+2\sqrt{x^3+1}+1}=\sqrt{(\sqrt{x^3+1}+1)^2}=|\sqrt{x^3+1}+1|$

tương tự $\sqrt{x^3+2(1-\sqrt{x^3+1})}=|\sqrt{x^3+1}-1|$

$=>A=|\sqrt{x^3+1}+1|+|1-\sqrt{x^3+1}|\geq |(\sqrt{x^3+1}+1) +(1-\sqrt{x^3+1})|=2$

dấu = xảy ra $<=> (\sqrt{x^3+1}+1).(1-\sqrt{x^3+1})\geq 0 <=> (x^3+1)\leq 1 <=>x\leq 0$

vậy min A=2 dấu = xảy ra $<=> -1\leq x\leq 0$




#686136 Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số ng...

Gửi bởi khgisongsong trong 01-07-2017 - 12:15

bài này dùng dirichlet

9 số đó có dạng $x_i=2^{a_i}.3^{b_i}.5^{c_i}$ ( i = 1 ; 2 ;3;...9)

khi lấy số dư của $a_i,b_i,c_i$ cho 2 thì ta được 1 trong 8 trường hợp sau

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

mà có 9 số nên tồn tại 2 số $x_i$ và $x_j$ sao cho $a_i\equiv a_j (mod 2), b_i\equiv b_j(mod 2) , c_i\equiv c_j(mod 2)$

$=>a_i+a_j ; b_i+b_j ; c_i+c_j$ đều chẵn $=> a_i.a_j=2^{a_i+a_j}.3^{b_i+b_j}.5^{c_i+c_j}$ là số chính phương




#685882 tìm số nguyên tố p

Gửi bởi khgisongsong trong 28-06-2017 - 23:45

Đầu tiên ta phải chứng minh bổ đề đơn giản này đã này: Nếu $a$ là số tự nhiên thỏa mãn $\sqrt{a}$ là số hữu tỷ thì $\sqrt{a}\epsilon N$ 

 

 

đâu có gì đâu

$\sqrt{a} \in Q =>\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ với m , n nguyên tố cùng nhau n khác 0

$=>a=\frac{m^2}{n^2}$ mà $a\in N=> m^2 \vdots n^2 => m \vdots n =>\sqrt{a} \in N$




#685820 GIẢI PT

Gửi bởi khgisongsong trong 28-06-2017 - 13:31

<=>$(2x+1)+(2x+1).\sqrt{x^2+2}+(x+1).(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+2})=0$

<=>$(2x+1)+(2x+1).\sqrt{x^2+2}+(x+1).\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}}=0$

<=>$(2x+1).(1+\sqrt{x^2+2}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}})=0$

<=>$2x+1=0 hoặc 1+\sqrt{x^2+2}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}}$=0

nếu $1+\sqrt{x^2+2}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}}$=0

<=>$1+\frac{x+1+x^2+2+\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+2x+3}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}}$=0

mà $x^2+x+3 >0 , \sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+2x+3}>0,\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}>0$

suy ra vô nghiệm

nếu 2x+1=0<=>x=-0.5




#685782 Tính $x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}$

Gửi bởi khgisongsong trong 28-06-2017 - 01:18

dễ thấy a,b,c phải khác 0

$=>a^2< a^2+b^2+c^2=>\frac{x^2}{a^2}\geq \frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}$

tương tự ta có $\frac{y^2}{b^2}\geq \frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}$ và $\frac{z^2}{c^2}\geq \frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}$

cộng 3 bất đẳng trên ta có

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$

dấu = xảy ra <=> x=y=z=0

vậy nếu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}= \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$

thì  $x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=0$




#685498 số cách phân tích một số tự nhiên thành tổng các số nguyên dương

Gửi bởi khgisongsong trong 24-06-2017 - 21:02

gọi $p(n)$ là số cách phân tích n thành tổng các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $n$

chứng minh 

$p(n)=(-1)^{k-1}\sum_{k}p(n-3k^2+k) (k=1;-1;2;-2;3;-3;4;-4....$ sao cho $n\geq k(3k-1)$) với p[0]=1




#685402 $CMR:a.sin(B-C)+b.sin(C-A)+c.sin(A-B)=0$

Gửi bởi khgisongsong trong 23-06-2017 - 15:23

có $a.sin(B-C)=a.(sinB.cosC-sinC.cosB)=a.sinB.cosC-a.sinC.cosB$

mà $sinB=\frac{b}{2R}, cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

=>$a.sinB.cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4R}$

tương tự $a.sinC.cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{4R}$

=>$a.sin(B-C)=\frac{b^2-c^2}{2R}$

tương tự ta có $b.sin(C-A)=\frac{c^2-a^2}{2R}, c.sin(A-B)=\frac{a^2-b^2}{2R}$

từ đó ta có đpcm




#685368 $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{(x-1)(3-x)}=m$

Gửi bởi khgisongsong trong 23-06-2017 - 08:24

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{(x-1)(3-x)}=m$ tập xác định x thuộc [1;3]

đặt $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{(x-1)(3-x)}$ với  x thuộc [1;3]

$f(x)=m)$ có nghiệm <=> $max(f(x))\geq m \geq min(f(x))$ với  x thuộc [1;3]

đặt $\sqrt{x-1}=a$,$\sqrt{3-x}=b$ và $k=a+b$ ($a\geq 0,b\geq 0,k\geq 0$)

=> $a^2+b^2=2$

=>$a^2+b^2+2ab-2a-2b=2-2m$

=>$(a+b-1)^2=3-2m$

=>$(k-1)^2=3-2m$

có $k^2=a^2+b^2+2ab \geq a^2+b^2=2$ dấu = xảy ra khi a=0 hoặc b=0 <=>x=1 hoặc x=3 ( thỏa mãn x thuộc [1;3])

=>$3-2m \geq (\sqrt{2}-1)^2=>m \leq \sqrt{2}$

mặt khác $k^2\leq 2(a^2+b^2)=4 $ dấu = xảy ra $<=> a=b <=>x=2$ (thỏa mãn x thuộc [1;3])

$=> k\leq 2=>3-2m\leq 1=>m\geq 1$

vậy $\sqrt{2}\geq m\geq 1$ là giá trị thỏa mãn đề bài