dat102

A=$m^2n^2-4m-2n$  chứng minh với m ,n nguyên dương và n >4 thì A không là số chính phương

Giả sử tồn tại số nguyên dương $x$ để $x^2=m^2n^2-4m-2n$

Suy ra: $(mn-x)(mn+x)=2(2m+n)$

$m^2n^2-x^2$ chẵn, mà $mn-x$ và $mn+x$ cùng tính chẵn lẻ nên cả hai cũng chẵn.

Suy ra $(mn-x)(mn+x)$ chia hết cho 4, mà $2(2m+n)$ không chia hết cho 4.

Vậy điều giả sử ban đầu sai. Ta có đpcm

Ta có: $p=x^4+2x^22^{2n+1} +2^{4n+2} - x^22^{2n+2}$

$p=(x^2+2^{2n+1})^2 - (2^{n+1}x)^2$

$p=(x^2+2^{2n+1} - 2^{n+1}x)(x^2+2^{2n+1} + 2^{n+1}x)$

Do $p$ là số nguyên tố và $x^2+2^{2n+1} - 2^{n+1}x < x^2+2^{2n+1} + 2^{n+1}x$ nên

$x^2+2^{2n+1} - 2^{n+1}x=1$ và $x^2+2^{2n+1} + 2^{n+1}x$ là một số nguyên tố

Công việc còn lại xin dành cho bạn !

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1} & =3 & \\ u_{n+1} &= \frac{1}{2}u_{n} ^{2} -u_{n}+2& \end{matrix}\right.$ Với $n\geq 1$

Tính $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $8^a+8^b+8^c=3$. CMR: $\frac{4^a}{3-4^a} + \frac{4^b}{3-4^b} + \frac{4^c}{3-4^c} \ge \frac{3}{2}$

Bạn để ý: $4(x^4+y^4+z^4+t^4) \ge (x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (BĐT Chebysev)

Chắc phần sau bạn tự làm được

Tìm các số nguyên dương $x^3+y^3-3xy+1$ là số nguyên tố

( Ta đã có $x^3+y^3-3xy+1=(x+y+1)(y^2+x^2-x-y-xy+1)$ nhưng e không biết khi xét $(x+y+1)$ và $(y^2+x^2-x-y-xy+1)$ lần lượt bằng 1 thì sau đó biến đổi như thế nào ạ. Mong mọi người giúp đỡ ạ !!! )

Bạn để ý $x+y+1=1$ thì $x^2+y^2-x-y-xy+1=x^3+y^3-3xy+1$

và trường hợp kia cũng như vậy

CMR:

$$3(a+2)(b+2)(c+1) \geq 2(2\sqrt[4]{ac}+1)(\sqrt{ab}+2)(2\sqrt{c}+b)$$

 

-Sáng Tác-                                                        

Không có điều kiện của $a,b,c$ à. Hay là $a,b,c \in \mathbb{R}$ ???

Bài này dùng phản chứng thôi.

Trường hợp $n<2$ tự xét

Giả sử n là hợp số $(n=kt)$ với $k,t$ nguyên dương

Cần CM $2^n-1$ là hợp số.

Thật vậy, $(2^k-1)|(2^{kt}-1)$ và $(2^t-1)|(2^{kt}-1)$

2.1) $x>0$

GT tương đương với:

$2(1+\frac{1}{x})\sqrt{x+\frac{3}{x}}=x+\frac{7}{x}$

Đặt $t=\sqrt{x+\frac{3}{x}}$, ta có:

$2(1+\frac{1}{x})t=t^2+\frac{4}{x}$

$(t-2)(t-\frac{2}{x})=0$
Đến đây tự làm tiếp được rồi.

Ps: Hình như câu này trong đề KHTN năm nào đó.

Đề chuyên Hải Dương khó thật

Tham khảo Đáp án đầy đủ: http://tin.tuyensinh...-c29a38925.html

 

Đặt $A=2x^2-3xy-2y^2$

$\Leftrightarrow$$A-3=2x^2-3xy-2y^2-\frac{1}{12}(25x^2-20xy+40y^2)$

$\Leftrightarrow$$A-3=-\frac{1}{12}x^2-\frac{4}{3}xy-\frac{16}{3}y^2$

$\Leftrightarrow$$A-3=-\frac{1}{12}(x+8y)^2\leq 0$

$\Leftrightarrow A\leq 3$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (x, y)=(\frac{4\sqrt{2}}{5}, -\frac{\sqrt{2}}{10})$ hoặc $(x, y)=(-\frac{4\sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{10})$

Vậy Max của $2x^2-3xy-2y^2=3$

 

Cho em hỏi là làm sao dự đoán được là $Max_A=3$. Anh giải thích giúp em với. Cảm ơn nhiều ạ.

Cho $2$ số thực $x,y$. Tìm GTLN của $2x^2-3xy-2y^2$ biết $25x^2-20xy+40y^2=36$

Ơ đúng mà

$y \ge 1 \rightarrow 4-\frac{1}{y} \ge 3$

Vì tổng ở dưới mẫu nên đổi dấu lại.

Không biết mình có lộn không nhỉ ???

$P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}$

Hình như bạn bị ngược dấu rồi.

Xem full Đáp án tại: https://www.dropbox....8-2019.pdf?dl=0

Ps: Các bác làm bài được ko ? Chắc em tạch rồi, làm chưa hết (