Haton Val

Cho a,b,c >0 ,  abc=1

Tìm GTLN của $A=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

Từ A kẻ tiếp tuyến =>> chứng minh song song =>> auto vuông góc

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3xy=1\\ y(\sqrt{xy-y^{2}}+\sqrt{3y^{2}-xy})=1 \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c > 0 . CMR : $a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}}+\sqrt[3]{abc}\leq 3\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để $A = n^{4}+4n^{p-1}$ là một số chính phương. 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH . Lấy E thuộc HC , vẽ hình chữ nhật AHEO. Vẽ đường tròn tâm O bán kính OE cắt AB, AC lần lượt tại M, N ( M thuộc tia đối tia AB ). Chứng minh AN = AM

Cho hình vuông ABCD , gọi N và M lần lượt là trung điểm của AB và BC. K là trung điểm MC. Từ A kẻ AF // NK ( F thuộc DC ). CMR FK là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Cho $a, b, c$ thỏa $a+b \neq 0$. Chứng minh $a^2 +b^2 + \left ( \frac{1+ab}{a+b} \right )^{2}\geq 2$

1.Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. Chứng minh rằng luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua hai điểm P

2. Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 2n+1 cạnh ( n thuộc N; n $\geq$ 3) bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng một tam giác cân được đánh dấu cùng một màu

Cho $a >b >c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca > 0$. Tìm GTNN : 

$A= \frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Cho a ∈ Z và a $\geq$ 0.  TÌm số phần tử của tập hợp : $A=\left \{ x  \epsilon  z  và \frac{2^{a}}{3x+1}  \epsilon  z\right \}$ 

Tìm tất cả các cặp hai số nguyên (x;y) thỏa mãn : x⁴-x³+1=y²

Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$T=\frac{a}{b^{4}+c^{4}+a}+\frac{b}{a^{4}+c^{4}+b}+\frac{c}{b^{4}+a^{4}+c}$

Cho các số nguyên dương a, b, c nguyên tố cùng nhau.

Xét đa thức P(x)=x²-(a+b)x+ab,

biết P(c)=c². Chứng minh c.P(a+b) là số chính phương