lamNMP01

File word cho những ai quan tâm ( không có hình ) ( mình không có giải hình ) 

.

Ta dùng kết quả sau đây $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}$ [ dùng hàm Dirichlet ]

Từ đây ta có thể kết thúc bài toán

Bài 4 số số lớn nhất là 2014 , điều này xảy ra khi đổi 1 - 2010 1 lượt rồi đổi 2008-2017 .

Ta xét Si là tổng các số có vị trí i đồng dư theo mod 10 . Bất biến là nếu 1 lượt biến đổi thì các Si đều bằng nhau

Tìm mọi hàm f từ R --> R thoả mãn

i) $ \displaystyle\lim_{x\to\ 0}f(x)=0=f(0)$

ii) $f(x).f(x^{1975}+x^{54})=f(x^{2013}+x)$

Biết là hơi  lạ nhưng 1 ông giáo sư Nga ( Fedor Petrov ) ( mình có kết bạn với ông này ) đã chứng minh 1 kết quả như sau .

Phương trình đồng dư x^p = p ( mod q) vô nghiệm khi và chỉ khi :

i) q đồng dư 1 mod p

ii)p ^ (q-1/p) không đồng dư 1 mod q

Bài này là của Gabriel Dospinesscu, có thể tham khảo cuốn Straight from the book, lời giải khá hay.

Lời giải dùng vành đóng của vành Z(i)

Bài 6 có 1 cách rất hay , chính là cách của Evan trong Aops , nếu ai đó đã có  học bài Hungarian MO 99 bổ trợ thì ý tưởng hoàn toàn là tự nhiên , đơn thuần là dùng nội suy Lagrange kiểm soát đa thức hữu tỷ rồi chỉnh các $ci$ thoả mãn 

Theo như v_Enhance trên AoPS thì bài này không giải được bằng cách sử dụng định lý Erdos Szekeres (https://artofproblem...2017_problem_5)(#4) ?

Có ai nói đó là cả bài đâu chỉ là 1 đoạn con thôi . Nếu giải bằng nó thật thì đã không phải IMO

Bài 5 : Erdos 1935 . Cho ab+1 số thực phân biệt , khi đó tồn tại 1 tập con a+1 hoặc b+1 số liên tiếp tăng hoặc giảm liên tiếp .

Áp dụng 2 lần cho n , ta có đpcm

Bài 3. Sử dụng dạng yếu của định lý Dirichlet: tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng $nk+1$ với $k$ cố định (chứng minh sơ cấp cái này có thể tham khảo đáp án của Olympic toán học HS - SV năm nay)

Chọn $p \equiv 1 \pmod k$ thì hiển nhiên tồn tại một dãy $a_n$ thỏa mãn bài toán.

Tổng quát nhất có lẽ là định lý Green- Tao cho dãy đa thức nguyên 

Mình là người ra cái bài 5 này . Thật ra là nó là đề OLympic SV Quốc tế IMC 2002 và Bulagria TST năm nào đó, chắc chắn là rất quen thuộc với tất cả mọi người. Bài này có cách dùng phương pháp xác xuất hay lắm 

Bài 2 (Gabriel Dospinescu ) . Thôi spoiler quá

Đây chính là định lý Erdos-Ko-Rado

Bổ đề 1 : Với mỗi $0 <= s<= n-1$ Xét tập con $A_s$ = { s, s+1,...........s+k-1 } mà phép cộng tính trong Zn

Cmr F chứa nhiều nhất k tập con kiểu $A_s$

Áp dụng bổ đề vào cm định lý này :

Xét 1 hoán vị con phi của { 0,1,2,........,n-1 } và i={0,1,.......n-1} được chọn 1 cách ngẫu nhiên và độc lập , và xét tập A chứa  các hoán vị phi i , phi i+1,......... phi i+k-1 } và vẫn tính trên Zn

Khi đó ta có Pr[A thuộc F] <= k/n. Nhưng A chọn ngẫu nhiên trong bộ k phần tử nên 

k/n >= Pr[A thuộc F]= |F|/ nCk

Nên |F| <=............. ta có đpcm