Minhnksc

cho 3 số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ Tìm MAX

        $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}+\frac{2(a+b+c)^2}{3}$ 

Nhớ không nhầm thì hình như bài này dùng Dirichlet để loại bớt biến.

chuẩn hóa xong đánh giá đại diện cũng được

Câu bđt của phú thọ ùi nhé

hượm đã, bđt của phú thọ??? 

Bạn nói rõ năm nào ra nhé chứ năm nay không phải đâu, mà hình như mình chả thấy đề phú thọ nào có câu bất này.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

               HÀ NAM                                                                                              NĂM HỌC 2016-2017

       $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                          Môn: TOÁN

                                                                                                                         Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (4 đ)Cho biểu thức $Q = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

1) Rút gọn biểu thức Q

2) Tính giá trị biểu thức Q tại $x=3-8\sqrt{2}$

3) Chứng minh rằng $Q<\frac{1}{3}$

Câu 2 (4 đ)

1) cho parabol $(P): y=-x^2$ và đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(0;-1)$, có hệ số góc k. Gọi  A và B lần lượt là giao điểm của (P).Giả sử A,B có hoành độ $x_{1}$;$x_{2}$

a) Tìm k để trung điểm của AB nằm trên trục tung.

b) Chứng minh rằng $\left | x_{1}^3-x_{2}^3 \right |\geq 2$

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$32x^2+87y^2+32x-78y-96xy-1225=0$

Câu 3(3 đ)Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x^3-y^3+6x^2-3y^2=-12x+3y-7 \\ &y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x \end{matrix}\right.$        

Câu 4 (7 đ):Cho tam giác ABC nhọn ($AB<AC$) có đường cao AH. Gọi O và I lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Kẻ đường kính AG của đường tròn (O), đường thẳng MG cắt AH và BC theo thứ tự tại N và K; AM cắt BC tại L.

 1) Chứng minh rằng $MG.MK=ML.MA$

 2) Chứng mỉnh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.

 3) Đường thẳng GI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, gọi E là tiếp điểm của BC với đường tròn (I). Chứng minh ba điểm M,E,D thẳng hàng

 4) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu $AB+AC=2BC$ thì I là trọng tâm $\Delta AKS$.

Câu 5 (2 đ)Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $5(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=4(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}$

Spoiler

Sáng nay mới thi, còn ý 4 bài hình và câu nghiệm nguyên đang làm dở
Giá mà đề này 180 phút thì quét sạch , mà anh em nào ở Hà Nam vào cập nhật tình hình làm bài cái .

Bài hình (full theo yêu cầu của bạn Mr. cooper )

câu hình lấy P đối xứng với  B  qua G, từ đó chứng minh hai tam giác BCD và CFP bằng nhau

do đó tam giác CBP cân tại C có CG là trung tuyến nên suy ra đpcm

với ý tưởng như trên, đầu tiên ta đi chứng minh $BEPF$ là hình bình hành

$\Rightarrow PF=BE=BD$ (1) và $PF\parallel AE\Rightarrow \angle{AEF}=\angle{AFP}$

mà ta lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên $\angle{CFP}=180^0- \angle{AFP}=180^0-\angle{AEF}=\angle{BDC}$ 

kết hợp với (1) và $CD=CF$ suy ra$\Delta CFP=\Delta CDB$, từ đó trở về ý tưởng chứng minh mình đã nêu ở trên.

chém luôn câu 3 này

đặt $p^n+144=k^2$ ($k\epsilon \mathbb{Z}$)

khi đó $ p^n=(k-12)(k+12)$

mà p nguyên tố nên $k-12=p^x$ và$k+12=p^y$ với x;y là các số nguyên; $y>x$ và $x+y=n$

$\Rightarrow p^y-p^x=24$ 

từ đó suy ra p là ước nguyên tố của 24, đến đây xét 2 trường hợp $p=2$ và $p=3$ rồi thay vào giải phương trình nghiệm nguyên như bình thường

Full đi bạn

đang mải làm câu 5 chưa full được bạn ạ

ta có $\Delta BNP\sim \Delta BDA \Rightarrow \frac{AD}{NP}=\frac{BN}{BD}$

         $\Delta CPM\sim \Delta CAD \Rightarrow \frac{CM}{CD}=\frac{MP}{AD}$

mà $MP=NP$ $\Rightarrow \frac{CM}{BN}.\frac{CD}{BD}=1$

lại có $AM=AN$ nên $\frac{BN}{AN}.\frac{CD}{BD}.\frac{AM}{CM}=1$

Theo định lý đảo Ceva suy ra $BM,CM,AD$ đồng quy.

CÂU 4

a,gọi $P$ là giao điểm của $MN$ và $AB$ 

ta có $\angle{BFE}=\angle{AFM}=\angle{AFN}$ nên $\overline{C,F,N}$

Vì $\angle{DBE}=\angle{BCN}=\angle{ABM}=\angle{NBP}$ và $\angle{NPB}=\angle{BDE}(=90^0)$

$\Rightarrow \Delta BDE\sim \Delta BPN \Rightarrow \frac{BN}{BE}=\frac{BP}{BD}$

Lại có $\angle{NBE}=\angle{PBD}$ (do $\angle{NBP}=\angle{DEB}$) $\Rightarrow \Delta NBE\sim \Delta PBD$

do đó $\angle{NEB}=\angle{PDB}=\angle{NMB} \Rightarrow $ tứ giác MEBN nội tiếp$\Rightarrow \angle{DEC}=\angle{BED}=\angle{BNM}=\angle{BMN}=\angle{NEB}$.

mà $\overline{N,E,C}$ nên $\angle{NEB}+\angle{BED}+\angle{DEC}=180^0$ 

do đó $3.\angle{NEB}=180^0 \Rightarrow \angle{NEB}=60^0\Rightarrow$ tam giác BMN đều$\Rightarrow MN=BM=MC$

suy ra đpcm.

b,ta có $EN-EC=EN-EB=EM$ (với tam giác BMN đều và $E$ thuộc $(BMN)$ thì đây là kết quả quen thuộc)

P/s: không biết câu a mình có làm hơi dài không

hình như có người gửi rồi hay sao ý ^-^

Ta chứng minh một bổ đề sau

$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow 2(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ (luôn đúng)

Mặt khác $a+b+c=2ab+2bc+2ca\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

bạn đọc sai đề bài rồi, VT của đề là $\sum\frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$ chứ không phải là $\sum\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$

dùng x<= giá trị tuyệt đối của x rồi cosi nhé bạn, mình k gõ đc latex nên chắc bạn chưa rõ

Như thế cũng được, mình chưa để ý tới kết quả $x\leq |x|$ nên mình nghĩ là không dùng được côsi 

Câu hình:

a,đầu tiên ta có $AC.BD=BC.AD$ rồi dùng định lý ptôlêmê cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp là xong

b,theo bất đẳng thức Cauchy-schwarz, ta có

$\frac{1}{KA}+\frac{1}{KB}\geq\frac{4}{KA+KB}$

ta thấy rằng K luôn chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOB$ nên sử dụng kết quả quen thuộc: $KA+KB$ lớn nhất khi K chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$

suy ra $\frac{1}{KA}+\frac{1}{KB}$ nhỏ nhất khi  K chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$

Một ý tưởng khủng cho bài hệ

Bài hệ phương trình tỉnh-1.jpg

File PDF: Bài hệ phương trình tỉnh.pdf

cái hay của cách làm này là k; p lại là 2 biểu thức chứa ẩn chứ không phải một số, mình không nghĩ tới trường hợp này nên bỏ qua hướng làm của bạn ngay từ đầu.

Cho tam giác ABC cân tại A.Kẻ ,đường vuông góc ( d1) với AC tại C  vá đường vuông góc (d2) với AB tại B ,hai đường này cắt nhau tại I.Trên tia đối của tia CI lấy điểm D tùy ý .Gọi M là trung điểm của CD , ,đường thẳng qua M và  vuông góc với AD cắt  (d2) tại K .Chứng minh KB= KD

Tự nhiên ngồi vớ vẩn lại nghĩ ra thầy ạ, mà em làm tắt thôi nhé     

Vì KM vuông góc với AD nên dễ nhận thấy $KD^2-DM^2=KA^2-AM^2=AB^2+BK^2-(AC^2+CM^2)$ theo định lý Pitago

mà $AB=AC$ và $CM=MD$ nên $KD^2=KB^2$, từ đó suy ra đpcm

PS: Lời giải ai ngờ quá đơn giản, thế mà em cứ ngồi nghĩ vẽ thêm hình phụ, tự nhiên thấy các đoạn vuông góc nên nghĩ tới Pitago .

Góp 1 câu sử dụng Cauchy-schwarz 

$\boxed{21}$ Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác, chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$

Tiếp lửa cho $\boxed{TOPIC}$ nào   

$\boxed{19}$ Giải phương trình sau: $16x^{4}+5=6.\sqrt[3]{4x^{3}+x}$.

$\boxed{20}$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                     $S=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

Trong đó $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.

$\boxed{20}$

theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

$\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc\leq \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 8$(1)

tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM được

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+3= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}}_{6}\geq8\sqrt[8]{\frac{1}{2^6ab}}$

tương tự$ \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+3\geq8\sqrt[8]{\frac{1}{2^6bc}}$

              $ \frac{1}{a}+\frac{1}{c}+3\geq8\sqrt[8]{\frac{1}{2^6ac}}$

từ đó ta có $S\geq 8^3\sqrt[8]{2^{18}\frac{1}{a^2b^2c^2}}$

kết hợp với (1)  suy ra $minS=64$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

Bạn có thể ghi tắt giúp mình được không? Mình không có cuốn đấy. Cảm ơn bạn.

bài này có trong quyển tập 2, mà quyển tập 2 mình mất rồi, để bao giờ tìm lại mình ghi cho bạn nhé