Minhnksc

Bài toán : Trên mặt phẳng lưới ô vuông đơn vị; ta định nghĩa hình chữ nhật A chia được trong hình chữ nhật B nghĩa là khi ta dùng các đường thẳng song song với các cạnh của ô vuông đơn vị thì chia được hình chữ nhật B thành các hình chữ nhật có cùng kích thước với A. Cho họ các hình chữ nhật $M$ thỏa mãn : nếu cho 2 hình chữ nhật A ;B thuộc họ trên thì nếu hình chữ nhật C chia được trong A và B thì tồn tại một hình chữ nhật khác có diện tích $\frac{s_{A}^n+s_{B}^n}{s_{C}}$ cũng thuộc $M$ với mọi $n\leq 2017$. Biết rằng số các kích thước khác nhau của các hình chữ nhật thuộc $M$ là hữu hạn. Tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất sao cho hình chữ nhật này chứa ít nhất $2018^{2019}$ hình chữ nhật thuộc $M$.

Chú ý: -Các hình chữ nhật ở trên đều có đường thẳng chứa cạnh trùng với các đường thẳng chứa cạnh của các ô vuông đơn vị

           -Một hình chữ nhật nào đó có kích thước $m\times n$ mà thuộc $M$ thì tất cả các hình chữ nhật có kích thước $m\times n$ cũng thuộc $M$ (kích thước $m\times n$ và $n\times m$ được coi là như nhau)

           -Hai hình chữ nhật có cùng diện tích nhưng không cùng kích thước mà một hình thuộc họ $M$ chưa chắc hình kia đã thuộc $M$

           -Kí hiệu $s_{A}$ là diện tích của hình A

P/s: Làm con siêu phẩm đầu năm học năm ngoái chế ra nhưng hnay mới up :V

Bài toán 1: Cho $2017$ số thực là $a_{1};a_{2};...;a_{2017}$ trong đó $a_{i} \in \left\{1;-1\right\}$ . Giả sử tồn tại một số $a_{i}$ thỏa mãn

$a_{i}+a_{i+1}+...+a_{i+k}>0$ và $a_{i}+a_{i-1}+...+a_{i-k}>0$ trong đó $a_{2017+l}=a_{l}$ với mọi $l$ nguyên và $k$ nguyên thỏa mãn $1\le k < 2017 $

Tìm số lớn nhất các số là $-1$ trong các số thực đã cho.

Sau khi đã bàn bạc với NHoang1608 một số mem khác của diễn đàn; mình quyết định mở lại topic này để khuấy động bầu không khí hè của diễn đàn cũng như tạo nơi để giao lưu; trao đổi về các bài toán nói chung và tổ hợp rời rạc nói riêng. 

Thôi; không dài dòng nữa; mình xin được trích các quy định trong topic trước của anh bangbang1412

Các quy định phải tuân thủ : 

 1. Chỉ đăng các bài toán về tổ hợp rời rạc

 2. Không được giải bài toán do chính mình đề xuất , không được đăng bài toán của các cuộc thi vẫn chưa kết thúc ở các tạp chí , diễn đàn , ....

 3. Ghi rõ nguồn bài toán nếu có . ( nếu tự nghĩ bạn có thể ghi tên mình ) 

 4. Không spam , lời giải rõ ràng , không vắn tắt làm khó hiểu người đọc . 

 5. Mỗi bài đăng của bạn sẽ theo form sau mỗi khi bạn giải xong bài toán thứ n

    Lời giải bài toán n : 

   Bài toán n+1 ( nguồn ) : Tiếp đó là bài mà bạn đề xuất

6. Không đăng các bài toán mở , các giả thuyết , ...

7. Nếu một bài toán trong 4 ngày không được giải chúng ta sẽ đăng bài toán khác và đánh dấu lại bài toán đó . 

8. Các bài toán đăng lên độ khó nhất định , có thể không quá khó nhưng yêu cầu tư duy và suy nghĩ .

9. Lưu ý nếu một bài toán khó các bạn có ý tưởng cũng có thể chia sẻ để mọi người cùng nhau giải .

Topic này không giới hạn độ tuổi và kiến thức [chỉ có giới hạn là toán rời rạc sơ cấp thôi ]

Bài 5: Cho một số các hộp nhỏ chứa tổng cộng 64 quả bóng [số bóng ở mỗi hộp không nhất thiết khác nhau]. Ở mỗi bước; ta chọn hai hộp $A$ có $p$ quả bóng và $B$ có $q$ quả bóng [$p\le q$] và bỏ $p$ quả bóng từ $B$ sang $A$. Chứng minh sau một số hữu hạn bước như vậy; ta có thể bỏ hết tất cả các quả bóng vào cùng 1 hộp.

Cách khác cho câu hai:
Xét dãy số $x_n$:$\left\{\begin{matrix} x_1=0\\ x_n =x_{n-1}^2 +1 \end{matrix}\right.$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $P(x_n)=x_n^2-x_n+1$
Mặt khác; lại có $x_n$ là một dãy tăng nên đa thức $P(x)-(x^2-x+1)$ có vô hạn nghiệm thực
Vậy $P(x)=x^2-x+1$ với mọi x là số thực

ÂU MÀI GÓTTTTTTTTT !!!!!!!!!!
 
DIẾN ĐÀN TA ĐÃ VÀO TOP 1000

Năm nay bất ngờ thật, Thanh Nghệ Tĩnh không có ai, có Đồng Tháp, Hải Phòng (2 người ), mà thành viên của Ams là anh Đức cũng khá bất ngờ Xin chúc đội tuyển thành công trong kì thi IMO 2018 sắp tới.

Năm ngoái là Bà Rịa - Vũng Tàu; năm nay là Đồng Tháp; biết đâu lại làm phát điểm cao nhất giống năm ngoái  

Đồng Tháp cũng có 1 vé rồi đấy!! Có ai đội tuyển IMO năm ngoái không??

Không có ai ạ; năm ngoái có Phạm Nam Khánh được Bạc nhưng cạch rồi 

TST (Team Selection Test) là tên gọi tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh vào Đội tuyển học sinh Việt Nam dự thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế IMO (International Mathematical Olympiad).

Theo Quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành:

• Các học sinh được triệu tập tham dự TST bao gồm:
  • Diện 1: Các học sinh đã dự thi IMO năm ngay trước, đồng thời đang học cấp THPT và không dự thi VMO được tổ chức cùng năm;
  • Diện 2: n học sinh có điểm thi cao nhất tại VMO được tổ chức cùng năm, trong đó n là một số tự nhiên không vượt quá 48).
• 6 thí sinh có điểm thi cao nhất sẽ được tuyển chọn vào Đội tuyển học sinh VN dự thi IMO được tổ chức cùng năm

Danh sách 6 học sinh tham gia tập huấn đội tuyển dự thi Olympic Toán học quốc tế lần thứ 59 tổ chức tại Romania vừa được Cục khảo thí chất lượng (Bộ GD&ĐT) công bố.

Đây là 6 thí sinh đã vượt qua 50 thí sinh khác tại kì thi chọn đội tuyển Quốc gia dự thi Olympic Quốc tế năm 2018. Danh sách cụ thể như sau:

1. Trần Việt Hoàng (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng)
2. Trương Mạnh Tuấn (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN)

3. Nguyễn Quang Bin (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN)

4. Đỗ Hoàng Việt (lớp 12, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)

5. Phan Minh Đức (lớp 11, THPT chuyên Hà Nội- Amsterdam)

6. Trịnh Văn Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng).

Đặc biệt, anh Trương Mạnh Tuấn (manhtuan00) là thành viên của diễn đàn ta và tham gia rất tích cực trong chuyên mục Mỗi tuần một bài toán hình học.

Chúc tất cả các anh trong đội tuyển đạt thành tích cao trong kì thi IMO 2018 tại Romania sắp tới!!

[Dựa theo thông tin mình đọc trên báo] 

Cho số thực $\lambda \in (0;1)$ Chứng minh mọi nghiệm phức của đa thức

$$f(x)=\sum^{n}_{k=0} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\lambda^{k(n-k)}x^k$$

đều có module bằng 1

P/s: China TST

Nếu đề không sai mình xin giải luôn

Từ gt ta thấy số số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n là 1

(Vì  ϕ(n) nguyên và >= 1 với mọi n tự nhiên)

=> n=2 => n^k < 3^k

Sai rồi bạn ; thay $n=6;k=2$ vào đi; vẫn thỏa mãn mà.

Lâu lâu mới lại up bài lên box thcs; cho bài chấy chấy tí 

Bài 67: Cho $n;k$ là hai số tự nhiên thỏa:

$1=\underbrace{\phi(\phi(\phi(...\phi(n))))}_{k}$

Chứng minh $n\le 3^{k}$

Với $\phi(n)$ là số số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$

Gọi S là tập các điểm có tọa độ nguyên trong không gian Euclide 3 chiều $\mathbb{R}^3$ [trừ điểm $(0,0,0)$].

a. Chứng minh rằng không tồn tại hữu hạn mặt phẳng mà hợp của chúng chứa toàn bộ phần tử của S

b. Tồn tại hay không một điểm K mà từ điểm K; ta có thể "nhìn thấy" toàn bộ phần tử của S.

 [Từ điểm K; ta có thể "nhìn thấy" một điểm L nếu giữa đoạn KL không có điểm nào ở giữa làm "chắn tầm nhìn" của K] 

P/S: Đang tìm một số các cách làm mới cho hai ý trên.

+)Ta sẽ chứng minh tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a^2+1$ chia hết cho $p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$

Thật vậy ta có $p-1\equiv -1(modp);p-2\equiv -2 (mod p);...;\frac{p+1}{2}\equiv \frac{1-p}{2}(modp);\frac{p-1}{2}\equiv \frac{p-1}{2}(modp);...;1\equiv 1(modp)$

Nhân các vế trên ta có $(p-1)!\equiv ((\frac{p-1}{2})!)^2.(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv ((\frac{p-1}{2})!)^2 (modp)$

Lại có $(p-1)!\equiv -1(modp)$ theo định lý Wilson nên từ đây ta có đpcm

+)Ta gọi $q$ là số nguyên tô sao cho $q=4k+1$ và $\alpha>\frac{1}{q}$

Đặt $m=(\frac{q-1}{2})!$ thì tập hợp sau là vô hạn: 

$A=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q)\right\}$

Vì theo chứng minh trên thì mọi phần tử của $A$ đều chia hết cho $q$ nên với $k^2+1\in A$ thì $p(k^2+1)\ge q$

Ta phân hoạch $A$ thành 2 tập hợp 

$B=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q);p(k^2+1)>q\right\}$ và $C=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q);p(k^2+1)=q\right\}$

Do tập $A$ là vô hạn nên trong hai tập $B;C$ có ít nhất một tập có vô hạn phần tử

+)Nếu $C$ có vô hạn phần tử; ta thấy tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\ge N$ và $n^2+1\in C$ thì $\frac{p(n^2+1)}{n^2+1}=\frac{q}{n^2+1}<\alpha$ 

Hiển nhiên là tồn tại vô hạn phần tử $n\ge N$  và $n^2+1\in C$ nên khẳng định đề bài đúng

+)Nếu $B$ có vô hạn phần tử thì vì với $n^2+1\in B;p(n^2+1)>q$ và $n^2+1$ chia hết cho $q$ nên $\frac{n^2+1}{p(n^2+1)}=lq(l\in \mathbb{N}^*)$

Do đó $\frac{p(n^2+1)}{n^2+1}=\frac{1}{lq}\le\frac{1}{q}<\alpha$ 

Có lẽ đề bài này sai. Chọn $\alpha=1$ thì. Với số tự nhiên $n$ bất kì thì tồn tại một ước $p$ của $n^2+1$ mà $p> \sqrt{n^2+1} >n$. Khi đó $\frac{p(n)}{n}>1$

đề bài cho là "ước nguyên tố" cơ mà

Bài 1: Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương và kí hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước của $n$. Chứng minh rằng số nguyên dương nhỏ thứ $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ luôn không nhỏ hơn $\sigma (n)$, đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Tìm hàm $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \left[0,1\right]$ sao cho với mọi số nguyên $x;y$:

$f(x,y)=\frac{f(x-1;y)+f(x;y-1)}{2}$

Bài 3: Tại một buổi ăn tối của 1 trường đại học; có 2017 nhà toán học mà mỗi người được ăn 2 món ăn sao cho không có 2 người nào ăn cả 2 món giống nhau. Giá của một món ăn bằng số nhà toán học ăn nó, và trường đại học này sẽ trả tiền cho mỗi người món ăn ít tiền hơn trong 2 món mà họ ăn. Hỏi tổng số tiền mà trường đại học này phải trả lớn nhất là bao nhiêu?

P/s: Có thể mình dịch không chuẩn lắm; dịch sai chỗ nào các bạn ib góp ý; không up lên ở đây