Minhnksc

Bài 39: (Thi thử chuyên $KHTN-2011$)

Cho $(O)$ đường kính $AB$.Đường thẳng $d$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$. $I$ cố định trên $AB$. $DE$ là dây cung thay đổi của $(O)$ luôn đi qua $I$. $BD,BE$ cắt $d$ tại $M,N$.Chứng minh:

a) $DENM$ nội tiếp

b) $AM.AN$ không đổi 

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp $DENM$ thuộc đường tròn cố định.

 

 

 

 

BÀI 39:
a, ta có $BD.BM=AB^2$ và $BE.BN=AB^2$ nên $BD.BM=BE.BN$ và suy ra tứ giác $DENM$ nội tiếp

b, Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBN$ với AB là K

vì $\angle{KNB}=\angle{KNM}+\angle{MNB}=\angle{DBA}+\angle{BAE}=\angle{AEI}+\angle{IAE}=\angle{BIE}$

$\Rightarrow KIEN $ nội tiếp $\Rightarrow BI.BK=BE.BN=AB^2$

mà $I$ cố định; $AB$ cố định nên $K$ cố định

lại có $AK.AB=AM.AN$ nên suy ra đpcm

c,Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp  tứ giác $DENM$ với đường thẳng AB là $L$ và $J$ ( J nằm giữa A và B)(1)

vì $AM.AN =AL.AJ$ nên $AL.AJ$ cố định

kẻ dây  PQ vuông góc với AB tại I, BQ  và BP cắt d lần lượt ở R và S

theo câu a, ta có $AM.AN=AR.AS \Rightarrow AL.AJ=AR.AS \Rightarrow RJSL$ nội tiếp

ta thấy $BL.BJ=BQ.BR(=AB^2)$ nên Q thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác RJSL hay J và L là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác RSQ với đường thẳng AB $\Rightarrow$ J và L cố định

do đó, kết hợp với (1) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp DENM chuyển động trên đường trung trực của JL 

bạn xem đề bài có sai gì không chứ câu c nó là đường thẳng cố định chứ không phải đường tròn cố định

P/s: giống đề hsg Bắc Giang năm nay nhỉ.

câu d bạn có thể tham khảo trong NCPT toán 9 

tham khảo ở đây (bài 13)

http://diendantoanho...017-2018/page-4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                               KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 

             HÀ NAM                                                                                                                    NĂM HỌC 2015-2016

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                                                      Môn: Toán

                                                                                                                                             Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1: (4 đ) Cho biểu thức $P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}+2x-3\sqrt{x}+1}{x^2-\sqrt{x}}$

a, Rút gọn biểu thức P

b, Tìm x để P là số tự nhiên chẵn.

Câu 2 (4 đ)a, cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(P)$, đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2x+m$. Tìm m để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông tại O với $O(0;0)$.

b, tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn $x^y+1=z^2$

Câu 3(4 đ)a, Giải phương trình $x\sqrt{x^2-x+1}+2\sqrt{3x+1}=x^2+x+3$

b Giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} & x^2+y^2-x-y=xy\\ & 2x^3-x^2-y^2=2xy \end{matrix}\right.$

Câu 4(6 đ). Cho hình vuông ABCD nội tiếp $(O)$. Điểm M thuộc cung nhỏ CD của $(O)$, M khác C và D. Đường thẳng MA cắt DB và DC theo thứ tự tại H và K, đường thẳng MB cắt DC, AC theo thứ tự tại E và F. Hai đường thẳng CH, DF cắt nhau tại N.

a, Chứng minh rằng HE là tia phân giác của góc MHC.

b, Gọi G là giao điểm của KF và HE. Chứng minh rằng G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KNE.

c, Chứng minh rằng$\frac{NH}{MH}+\frac{NF}{MF}+\frac{KE}{CD}=1$

Câu 5 (2 đ). cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y}{1+2x^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\geq 0$

P/s: còn câu c bài hình và câu 5

mình xin "xiên" nốt 2 câu hình

câu 2:

Giả sử M thuộc cung AC

dễ thấy $MA+MC=MB$ do đó

$MA^2+MB^2+MC^2=2(MA^2+MC.MA+MA^2)$

dựa vào định lý Pitago và $\angle{AMC}=120^0$, ta chứng minh được $MA^2+MA.MC+MC^2=AC^2=3.R^2$ (có thể xem chứng minh kết quả này trong NCPT toán 9) suy ra đpcm

câu 5:

Ta có $MP.NQ\geq 2S_{MNPQ}=S_{ABCD}$

Gọi R là trung điểm của AC, ta có : $NR=\frac{1}{2}AB;QR=\frac{1}{2}CD$

suy ra $NQ\leq NR+QR= \frac{1}{2}(AB+CD)$

tương tự $PM\leq \frac{1}{2}(AD+BC) \Rightarrow MP.NQ\leq \frac{1}{4}(AB+CD)(AD+BC)$ 

câu 6:

a, câu này dễ rồi nhá (áp dụng công thức tính số đường chéo là ra)

b, nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được 10 tam giác mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài

mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề bài là $10.12=120$

tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần

Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề bài thực chất là: $120-12=108$ tam giác. 

Gọi E' là trực tâm tam giác ABC, AD, CG là đường cao của tam giác

Ta  có $AE'.AD=AG.AB$ (do tứ giác DE'GB nội tiếp) và $AG.AB=AM ^2$

suy ra $AE'.AD=AM^2$ và suy ra $\Delta AE'M\sim\Delta AMD\Rightarrow \angle{AE'M}=\angle{AMD}$

tương tự  $\angle{AE'N}=\angle{AND}$

do đó $\angle{AE'N}+\angle{AE'M}=\angle{AMD}+\angle{AND}$(1)

mà AM và AN là tiếp tuyến của$(O)$ và AD là đường cao nên $\angle{ONA}=\angle{OMA}=\angle{ODA}(=90^0)$ 

do đó $DNAM$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle{AMD}+\angle{AND}=180^0$

kết hợp với (1) suy ra N, E', M thẳng hàng và suy ra E' là giao điểm của MN và AD$\Rightarrow E \equiv E'$

$\Rightarrow E$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\boxed{18}$: cho các số thực dương a, b, c thỏa $\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2015}$

tìm min $P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}$

câu này mình giải dài lắm nên muốn tham khảo lời giải của các bạn

Vĩnh Phúc bạn ạ ,,,, Mình bỏ câu này nên được có giải Nhì thôi ,,, bạn trình bày luôn cách đồng quy có được không,,,mình nghĩ là ngược dấu :PVi

Vĩnh Phúc đã thi rồi à, Hà Nam mình tuần nữa mới thi cơ, mà bạn up đề Vĩnh Phúc lên được không.

P/s: Hóng câu hình đề Vĩnh Phúc quá

$\boxed{15}$ 

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)\leq8$

câu 1 của bạn mà không có mấy ý a,b,c thì đúng là chày cối

Câu 2

d,Gọi giao điểm của$CV$ và $(O)$ là $T'$ và giao điểm của $AT'$ và $(O)$ là $F'$

ta có $BV^2=VT'.CV$ mà $BV=AV \Rightarrow AV^2=VT'.CV$

từ đó suy ra$ \Delta AVT' \sim  \Delta CTV' \Rightarrow \angle{VAT'}=\angle{ACT'}$

mà $\Delta ACT' \sim \Delta AF'C \Rightarrow \angle{ACT'}=\angle{AF'C}$

do đó $\angle{VAT'}=\angle{AF'C}$

từ đó ta có $ AB||CF'$$\Rightarrow F \equiv F' \Rightarrow T\equiv T' \Rightarrow C;T;V $ thẳng hàng

Hình có rồi mình không vẽ lại nữa đâu

Câu 1

b, đầu tiên bạn chứng minh H;O;F thẳng hàng(1)

sau đó ta chứng minh$\angle{KTB}=\angle{KDB}(=\angle{DCB})$

từ đó suy ra $KTDB$ nội tiếp và suy ra $\angle{ATD}=\angle{KBD}=\angle{BCD}=\angle{AHD}$

$\Rightarrow$ tứ giác $ATHD$ nội tiếp$\Rightarrow$ tứ giác $ATHE$ nội tiếp$\Rightarrow \angle{ATE}=90^0$

mà $\angle{ATF}=90^0$ $\Rightarrow$ T;H;F thẳng hàng  

tiếp tục kết hợp với (1) nữa là coi như gần xong

c, gọi giao điểm của $AH$ và $BC$ là $P$

dễ dàng chứng minh $AT.AM=AH.AP$ và $AE.AB=AH.AP$ dựa vào câu b

từ đó suy ra $AM.AT=AE.AB$ và suy ra tứ giác $MTEB$ nội tiếp và suy ra đ.p.c.m

d,ta có $AS^2=AC.AD=AH.AP$

Từ đây, sử dụng tam giác đồng dạng suy ra $\angle{AHS}=\angle{ASP}$

lại có tứ giác ASOH nội tiếp (cái này dễ bạn tự c/m nhé) suy ra $\angle{ASP}=\angle{AOP}$

vì $OT$ vuông góc với $AM$ và $AH$ vuông góc với $CO$ $\Rightarrow$ H là trực tâm của $\Delta AOM$

từ đó ta có $\angle{AMH}+\angle{AOP}=180^0$ suy ra $\angle{AMH}+\angle{AHS}=180^0$

suy ra đpcm

p/s: bạn chỉ yêu cầu gợi ý nên mình làm tắt thôi nhé

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$, điểm $D$ thuộc $BC$ , đường tròn $(I_{1})$ và $(I_{2})$ nội tiếp 2 tam giác $ABD$ và $ACD$. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài khác $BC$ của $(I_{1})$ và $(I_{2})$ cắt $AD$ tại $M$, $(I)$ tiếp xúc với $AC,AB$ tại $E,F$. chứng minh $AM=AE=AF$

 

Gọi S;R lần lượt là tiếp điểm của $(I_{1})$ và $(I_{2})$ với $AD$, tiếp tuyến chung của $(I_{1})$ và $(I_{2})$ lần lượt tiếp xúc với $(I_{1})$ và $(I_{2})$ $P$ và $Q$, $BC$ tiếp xúc với $(I_{1})$ và $(I_{2})$ tại G và H

Ta có $MP=MS; MQ = MR \Rightarrow AS+AR=PQ+2AM$(1)

Dễ thấy $PQ=GH=GD+DH=\frac{AD+BD-AB}{2}+\frac{AD+CD-AC}{2}=AD+\frac{BC-AB-AC}{2}$

             $AS+AR=\frac{AD+AB-BD}{2}+\frac{AD+AC-CD}{2}=AD+\frac{AB+AC-BC}{2}$

Kết hợp với (1), ta có $AM=\frac{AB+AC-BC}{2}$

Mà $AE=AF=\frac{AB+AC-BC}{2}$

$\Rightarrow AM=AE=AF$.

P/s: chị nhớ ghi số bài và cả nguồn (nếu có) nhé

$\boxed{13}$ Giải phương trình: $9(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2})=x+3$

 

$\boxed{13}$ 

ĐKXĐ: $x \geq \frac{2}{3}$

phương trình tương đương $\frac{x+3}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}}=x+3\Leftrightarrow (x+3)(1-\frac{1}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}})=0$

trường hợp1 : $x+3=0\Leftrightarrow x=-3$(thỏa mãn ĐKXĐ)

trường hợp 2: $1-\frac{1}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}}=0 \Rightarrow \sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}=1$

giải ra ta được x = 2 hoặc x = 6 (thỏa mãn ĐKXĐ)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO              KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

        TỈNH BÌNH DƯƠNG                                               NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1: (5,0 điểm)

        a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2017$

        b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng $\overline{82xxyy}$ với $\overline{xxyy}$ là số chính phương.

 

BÀI 1: 

a,$\sqrt{x}+\sqrt{y}=2017\Leftrightarrow \sqrt{x}=2017-\sqrt{y} \Leftrightarrow x=2017^2+y-4034\sqrt{y}$

Từ đó suy ra $\sqrt{y}$ là số hữu tỉ, đặt $\sqrt{y}=\frac{p}{q}$ (p và q là các số nguyên dương)

$\Rightarrow y=\frac{p^2}{q^2}$ 

mà $y\epsilon \mathbb{N} \Rightarrow p^2 \vdots q^2 \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow \sqrt{y} \epsilon \mathbb{N}$

từ đó dễ dàng có nghiệm tổng quát của phương trình là $p=r^2$ và $(2017-r)^{2}$ với $0<r<2017$

b, ta có $\overline{xxyy}=11.\overline{x0y}$

mà 11 là số nguyên tố và $\overline{xxyy}$ là số chính phương

$\Rightarrow \overline{x0y} \vdots 11 \Rightarrow 99.x + x + y \vdots 11\Rightarrow x+y \vdots 11$

lại có $0<x+y \leq 18 \Rightarrow x+y=11 \Rightarrow \overline{x0y}=99x+11 \Rightarrow \overline{xxyy}=121(9x+1) $

từ đó suy ra $9x+1$ là số chính phương $\Rightarrow x=7$ (do $0<x<10$) $\Rightarrow y=4$

câu b bài 1:
bđt cần c/m tương đương a²+b²/12(a²+b²)+25ab >= 1/25

<=> 25(a²+b²) >= 12(a²+b²)+25ab

<=> 13(a²+b²) >= 25ab

<=> (2²+3²)(a²+b²) >= 25ab

Áp dụng bđt ở câu a ta có: (2²+3²)(a²+b²) >= (2a+3b)² = 4a²+9b²+12ab

Bây giờ chỉ cần c/m 4a²+9b²+12ab >= 25ab

<=> 4a²-4ab-9ab+9b² >= 0

<=> 4a(a-b)-9b(a-b) >= 0

<=> 4(a-b)² >= 0, luôn đúng

---> bđt ban đầu được chứng minh

bạn học gõ Latex đi cho dễ nhìn