Minhnksc

1223!!!!!!!!!!!!!!

Bài tổ hợp 

1)(ngày 2)

ta thấy rằng các đoạn $OA_k$ đi qua một điểm $(p;q)$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{p}{q}=\frac{k}{100}$ và $q<100$ 

Có nghĩa là khi này phân số $\frac{k}{100}$ không tối giản. 

Do đó số đoạn $OA_k$ thỏa mãn đề bằng số các số nguyên dương $k<100$ và nguyên tố với 100 hay là bằng $\phi(100)=40$

1)(ngày 1)

Gỉa sử tam giác $A_{i} A_{j}A_{k}$ thỏa mãn đề ; khi đó số đo của các cung nhỏ chắn bởi 3 cạnh $A_{i}A_{j}$;$A_{j}A_{k}$:$A_{k}A_{i}$ lần lượt có dạng $\frac{360x}{2017};\frac{360y}{2017};\frac{360z}{2017};$ với $x+y+z=2017(1)$(x;y;z là các số nguyên dương). Giả sử $m\le n$ và $m\le p$

vì tam giác trên nhọn nên $x;y;z<\frac{2017}{2}$ hay $x;y;z\le 1009$. Đặt $m=1009-x;n=1009-y;p=1009-z$. Khi này; (1) trở  thành

$m+n+p=1010(*)$

Nếu $m=0$ thì số nghiệm tự nhiên của $(*)$ (trong đó $m;n$ khác 0) là $504$

Nếu $m\neq 0$ thì số nghiệm nguyên dương của $(*)$ là $C^{2}_{1009}:6=84756$

Khi đó tổng số các bộ số $x;y;z$ thỏa mãn đề là 85260

Tuy nhiên mỗi tam giác có một bộ 3 cung chắn như trên đều có thể quay 2017 lần để tạo ra các hình tam giác khác

Vậy số hình tam giác thỏa mãn đề là $171969420$

Năm 2017-2018

 

$\mathbf{\boxed{I.}}$Chọn đội tuyển thi VMO 

$\mathbf{\boxed{1}}$ THPT Chuyên KHTN Vòng 1 (Ngày 1+2)

$\mathbf{\boxed{2}}$ THPT Chuyên KHTN Vòng 2 (Ngày 3+4)

$\mathbf{\boxed{3}}$ Thành Phố Đà Nẵng

$\mathbf{\boxed{4}}$ Tỉnh Đắc Lắc

$\mathbf{\boxed{5}}$ Tỉnh Cà Mau

$\mathbf{\boxed{6}}$ Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 

$\mathbf{\boxed{7}}$ Quốc Học Huế

$\mathbf{\boxed{8}}$ Tỉnh Quảng Ninh

$\mathbf{\boxed{9}}$ Tỉnh Hải Dương

$\mathbf{\boxed{10}}$ Thành phố Hà Nội Vòng 2

$\mathbf{\boxed{11}}$ Tỉnh Thái Nguyên

$\mathbf{\boxed{12}}$ Tỉnh Phú Yên

$\mathbf{\boxed{13}}$ THPT Chuyên Phan Bội Châu 

$\mathbf{\boxed{14}}$ Tỉnh Hòa Bình

$\mathbf{\boxed{15}}$ PTNK TP Hồ Chí Minh

          $\mathbf{\boxed{16}}$ Tỉnh Nam Định

          $\mathbf{\boxed{17}}$ Tỉnh Đồng Nai

          $\mathbf{\boxed{18}}$ Tỉnh Cà Mau

          $\mathbf{\boxed{19}}$ Tỉnh Quảng Ninh

          $\mathbf{\boxed{20}}$ Tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu

          $\mathbf{\boxed{21}}$ Tỉnh Thanh Hóa

 

II. Olympic 30/4, GGTH

1. Olympic 30/4 năm 2017 khối 11

Olympic 30/4 năm 2017 khối 10

2. Trại hè Hùng Vương

Trại hè Hùng Vương khối 11

3. Gặp gỡ Toán học khối 10

Gặp gỡ Toán học khối 11

Gặp gỡ Toán học khối 12

4. Olympic chuyên KHTN

To be continued...

P/s: Anh em ĐHV OLP nào muốn tổng hợp thêm thì cứ việc nhé

@vietnaminmyheart: ĐHV OLP tổng hợp theo form trên nhé

 

Từ Zaraki: Đặt chú ý topic của đề thi (không phải topic này) sẽ đưa đề lên trang chủ, giúp tăng sự chú ý. Chú ý là topic ở trang chủ được sắp thứ tự theo thời gian được lập từ mới nhất đến cũ nhất. Do đó topic đề thi nào mà được tạo lâu rồi sẽ không thấy ở trang đầu của trang chủ. Cho nên chỉ đưa chú ý topic đề thi nào mà mới lập + đồng thời bỏ chú ý topic đề thi cũ. Nếu cái này không hoạt động thì PM BQT. ĐHV Olympic lúc nào rảnh thì update đề nhé. 

Cho số nguyên $x$ và hai số nguyên tố lẻ $p;q$ sao cho $x;p;q$ đôi một nguyên tố cùng nhau và $r;s$ lần lượt là hai ước nguyên tố lớn nhất của $p-1;q-1$.Tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho $(pq)^x|x^n-1$

Khuôn mặt khắm lọ =)). Chủ yếu là khoe cây nhà lá vườn và cho ae biết khuôn mặt của mình nó ntn

Ở đây: http://math.tut.fi/~.../GT_English.pdf

Hoặc ra mua cuốn TLCT 12 có một chương viết về Graph

Bài toán 15: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a+b+c\geq abc$. Chứng minh rằng ít nhất 2 trong 3 bất đảng thức sau đúng:

$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6;\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 6;\frac{3}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}\geq 6$

Cho hai đa thức $P;Q \in \mathbb{R}\left[x\right]$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng không có quá 3 số thực $\lambda$ thỏa mãn $P+\lambda Q$ là bình phương của một đa thức

Câu 1:

Phương trình ban đầu tương đương:

$\frac{1+\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}}{1+\sqrt{1+(f(x))^2}}=\frac{f(x)}{\frac{1}{x}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}(1+\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2})=f(x)(1+\sqrt{1+(f(x))^2})$

Ta nhận thấy rằng hàm $g(t)=t(1+\sqrt{1+t^2})$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên chỉ có duy nhất $f(x)=\frac{1}{x}$ làm thỏa mãn phương trình ban đầu.

Câu 2:

2) Vì $\hat{A}=\pi-\hat{B}-\hat{C}$ và $\hat{B}\leq \frac{\pi}{2}$ nên $\hat {A}\geq \frac{\pi}{2}-\hat{C}$

Do đó $(sinA+sinC)^2\geq (sin(\frac{\pi}{2}-\hat{C})+sinC)^2=sin^2(\frac{\pi}{2}-\hat{C})+sin^2C+2sin(\frac{\pi}{2}-\hat{C})sinC=1+2sin(\frac{\pi}{2}-\hat{C})sinC> sin^2B \Rightarrow sinA+sinC>sinB $

Ta lại có nhận xét sau: Nếu $b>a$ thì $\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}$ với $m;a;b$ là các số nguyên dương nên

$\frac{sinB}{sinA+sinB+sinC}<\frac{sinB}{sinA+sinC}<\frac{sinB+sinB}{sinB+sinA+sinC}=\frac{2sinB}{sinA+sinB+sinC}(1)$

Tương tự $\frac{sinA}{sinA+sinB+sinC}<\frac{sinA}{sinB+sinC}<\frac{2sinA}{sinA+sinB+sinC}(2)$

                $\frac{sinC}{sinA+sinB+sinC}<\frac{sinC}{sinB+sinA}<\frac{2sinC}{sinA+sinB+sinC}(3)$

Cộng 3 vế $(1);(2);(3)$ ta có $1<M<2$ nên $\left[M\right]=1$

Mở rộng: Trong không gian cho khối $B$ thỏa mãn bất cứ mặt phẳng nào cắt $B$ cũng cho ra tiết diện là một hình lồi. Hỏi có tồn tại khối $A$ nào chứa khối $B$ sao cho diện tích bề mặt của $A$ nhỏ hơn diện tích bề mặt của $B$ hay không?

Tìm các tập hợp $\bigcup _{n \in N^*}A_n, \bigcap _{n \in N^*}A_n$ trong các trường hợp

$a)$ $A_n=\left \{ x\in R|-n\leqslant x \leqslant n \right \}$

$b)$ $A_n=\left \{ x\in R|\frac{-1}{n}\leqslant x\leqslant \frac{1}{n} \right \}$

a)$\bigcap_{n \in \mathbb{N^*}}A_n =[-1;1]$

   $\bigcup_{n \in \mathbb{N^*}}A_n=(-\infty;+\infty)$

b)  

+)$\bigcup_{n \in \mathbb{N^*}}A_n=[-1;1]$

+)Vì $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{-1}{n}=0$ nên $\lim_{n\to \infty}\sup A_n=\lim_{n\to \infty} \inf A_n=0$

Do đó $\bigcap_{n\in \mathbb{N^*}}A_n=\left\{0 \right\}$

Trên mặt phẳng có tồn tại hình $A$ hay không sao cho hình $A$ chứa một hình lồi $B$ thỏa mãn chu vi của hình lồi $B$ lớn hơn hình $A$?

Chú ý: Chu vi của một hình là độ dài đường biên của hình đó

Đề kiểm tra kiến thức hè THPT chuyên LHP Nam Định

Môn: Toán chuyên

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: Giải phương trình:

a) $x^6-3x^5+6x^4-8x^3+6x^2-3x+1=0$

b) $\sqrt{x^2+3x}+2\sqrt{x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5}$

Câu 2: Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5$. Chứng minh rằng:

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{17}{4}$

Câu 3: Cho ánh xạ: 

$f: \mathbb{R}\setminus \left\{2 \right\} \rightarrow \mathbb{R}\setminus \left\{2 \right\}$

$x\mapsto y=\frac{2y+1}{y-2}$

Chứng minh $f$ là song ánh và tìm ánh xạ ngược của $f$

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$; $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ tại $D$. Kẻ đường kính $AE$ của $(O)$

 a) Chứng minh : $BD.BE=BM.BA$

 b) Chứng minh $CD$ đi qua trung điểm đường cao $AH$ của tam giác $ABC$

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh là $a$; biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong tam giác $ABC$ thỏa mãn $\left|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\right| = \left|\vec{MA}+2\vec{MB}-3\vec{MC} \right|$ nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo $a$.

Câu 6: Tìm tất cả các tập con $S$ của $\mathbb{N^*}$ sao cho với mọi $i$ và $j$ thuộc $S$ thì $\frac{i+j}{(i;j)}$ cũng thuộc $S$ và tập $S$ là một tập hợp có hữu hạn phần tử. Kí hiệu $(i;j)$ là ước chung lớn nhất của $i$ và $j$

Có tồn tại vô hạn số tự nhiên q thỏa mãn $\left[\alpha q^2 \right]\vdots q$ hay không? Với $\alpha$ là một số vô tỉ cho trước