Theo câu a ở chỗ $p-1=kq, q^{2}-1=kp$ trong đó k ở đây bằng 3
mình nghĩ nếu $q^2-1\vdots 3$ và $p$ không chia hết cho 3 thì chỉ đủ điều kiện để suy ra $k\vdots 3$ chứ chưa thể kết luận vội vàng $k=3$ được
- MoMo123 yêu thích
"Wir müssen wissen, wir werden wissen"
-- David Hilbert --
Gửi bởi Minhnksc trong 31-05-2017 - 11:00
Còn đây là lời giải bài Tổ của mình. Sao các bạn cứ nghiêm trọng nó lên vậy
Ta dễ dàng tính được $S_{ht}\approx 50,27(cm^2)$
Lấy một điểm S bất kì trong tứ giác ABCD, khi đó tứ giác ABCD được chia thành 4 tam giác. Lại lấy điểm S' trong một tam giác bất kì, cứ tiếp tục như vậy. Nhận thấy, số tam giác tạo thành là: $3+32.2=67$
Mà: $S_{ABCD}<S_{ht}<50,27$ nên tồn tại một trong $67$ tam giác có diện tích: $<\dfrac{50,27}{67}<\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
Ta có ngay đpcm
Lời giải của bạn chưa đúng vì các tam giác chỉ được phép tạo thành từ 33 điểm đã cho chứ không được tạo thành bởi 4 điểm $A;B;C;D$; còn 67 tam giác như bạn đã nêu ở trên thì đã có các tam giác mà đỉnh của chúng không nằm trong số 33 điểm đã cho
Gửi bởi Minhnksc trong 30-05-2017 - 22:09
Mình cũng nên nói thêm là câu 1a rất dễ nhầm lẫn vì đề bài yêu cầu tìm số tự nhiên $x$ chứ không phải là tìm $x$; như vậy đáp án của bác $quangantoan$ trở nên vô nghĩa.
Hơn nữa; mình nghĩ là đề này chưa thực sự để lại cho mình nhiều ấn tượng; nhất là câu hình; câu hệ phương trình với phương trình (chắc cũng phải đề cập thêm cả câu số học ) so với mấy năm trước thì năm nay nhạt toẹt.
Gửi bởi Minhnksc trong 30-05-2017 - 18:17
Mình thấy cách giải của bạn ddang00 không hợp lí lắm. Như cách giải thích của anh IHateMath thì có vẻ cách của bạn chưa đúng hơn nữa nếu làm như vậy con số $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$ không có ý nghĩa cho lắm.
Cách giải của mình như sau:
ScreenHunter_35 May. 30 14.25.jpg
Ta chia tứ giác $ABCD$ thành $16$ tứ giác nội tiếp trong đường tròn bán kính $1$ như hình trên bằng cách lấy các trung điểm của cạnh tứ giác $ABCD$ và làm thế 1 lần nữa với $4$ tứ giác vừa được chia ra.
Theo nguyên lí $Dirichlet$ thì tồn tại $3$ điểm trong $33$ đã cho cùng thuộc $1$ tứ giác trong $16$ tứ giác vừa được chia ra
$3$ điểm này thuộc hình tròn bán kính bằng $1$. Ta sẽ chứng minh $3$ điểm này là $3$ điểm cần tìm.
ScreenHunter_36 May. 30 14.38.jpg
Gọi $3$ điểm này là $E,F,G$
Xảy ra $3$ trường hợp:
TH1 3 điểm này không nằm trên đường tròn. Vẽ $EF$ cắt $(I)$ tại $M$. Đường thẳng $EG$ cắt $(I)$ tại $N,K$.
Dễ thấy $S_{EFG}< S_{MNK}$. Mà ta lại có diện tích của 1 tam giác bất kì nội tiếp đường tròn không quá diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó. Dễ tính được diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $1$ là $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
Suy ra $S_{EFG}< S_{MNK}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2} $
TH2 Tồn tại ít nhất $1$ điểm trong $3$ điểm nằm trên đường tròn.
Vẽ như TH1 và giải như TH1
TH3 3 điểm này nằm trên đường tròn. Giải như TH1 thì $S_{EFG}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
Như vậy ta có điều phải chứng minh
Bạn thử xem lại đề bài và trường hợp 3 xem
Đề yêu cầu là Chứng minh rằng trong 33 điểm đó luôn tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^2$ chứ không phải nhỏ hơn hoặc bằng bạn nhé!
Mình là nên tính số tam giác đôi một không có điểm trong chung nhiều nhất có thể tạo bởi 33 điểm trên; giả sử là $n$; thì khi này tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{S_{ABCD}}{n}$; mà $S_{ABCD}\leq 32cm^2$ nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{32}{n}<\frac{3\sqrt{3}}{4}$ là xong. Tuy nhiên là mình khá băn khoăn về con số $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
Gửi bởi Minhnksc trong 30-05-2017 - 10:56
ĐÃ sửa và giải ở trên
Bạn xem lại câu b bài hình cái hình như không ổn!!!
ĐÃ sửa và giải ở trên
Xin lỗi mọi người; mình đăng nhầm; câu 4b phải là $\angle{DBH}=2\angle{DKH}$ chứ không phải $\angle{DBH}=2\angle{DHK}$
Gửi bởi Minhnksc trong 29-05-2017 - 17:49
Câu 3a
Nếu $abc>0$ thì $a^2+b^2+c^2+abc>0$(vô lý)
Nếu $abc\leq 0$ thì trong 3 số a;b;c tồn tại 2 số cùng dấu; giả sử là a và b
Khi đó $-2\leq c\leq 0$ và $ab\geq 0$ nên $a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2-2ba=(b-a)^2+c^2\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$
Từ đó ta có đpcm
Câu 3b mình chưa nháp nhưng chắc là có phần giống câu 3a
Gửi bởi Minhnksc trong 29-05-2017 - 16:59
Ai chém nốt câu tổ đi; câu tổ mình thấy mình làm nó cứ sai sai thế nào ấy
P/s:@Minhnksc;NHoang1608, các chú có thi chuyên Sư Phạm không?
Em cũng thi Hà Nội nhưng thi KHTN cơ.
Gửi bởi Minhnksc trong 28-05-2017 - 22:59
Với n là 1 số nguyên dương đã cho, hỏi đa thức $f(x)=(a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n$ có chia hết cho đa thức $g(x)=n(a-b)(b-c)(c-a)$ không?
Mình nghĩ là không vì trong trường hợp $n=2$ thì bậc của $f(x)$ nhỏ hơn bậc của $g(x)$
Gửi bởi Minhnksc trong 28-05-2017 - 22:29
Chém câu bất trước
Từ giả thiết và theo bất đẳng thức Cauchy; ta có:
$P=\frac{1}{a(a+b+c)+bc}+\frac{1}{b(a+b+c)+ac}+(a+b)(4+5c)=\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+(a+b)(4+5c)=\frac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+(a+b)(4+5c)\geq \frac{a+b+2c}{(a+b)(\frac{a+b+2c}{2})^2}+(a+b)(4+5c)=\frac{4}{(a+b)(a+b+2c)}+(a+b)(4+5c)\geq \frac{4}{(a+b)(a+b+c+c)}+(a+b)(4+4c)=\frac{4}{(a+b)(1+c)}+4(a+b)(1+c)\geq 2\sqrt{\frac{4}{(a+b)(1+c)}.4(a+b)(1+c)}=8$
Dấu "=" xảy ra khi $c=0; a=b=\frac{1}{2}$
P/s:Hôm đi thi câu bất tưởng không làm được; lúc ra khỏi phòng thi mới biết đọc thiếu dữ kiện ~đắng~
Gửi bởi Minhnksc trong 28-05-2017 - 22:16
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NAM ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Môn: Toán (chuyên)
Câu 1:(2 đ)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa $(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}-1})(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-1)\geq 1$
b) Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện $a+b+c=3$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$
Tính giá trị biểu thức $P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2018}.(c-3)^{2019}$
Câu 2:(2 đ)
a) Giải phương trình $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\ & x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0 \end{matrix}\right.$
Câu 3:(3 đ)
Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$, $I$ là trung điểm của $BH$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OB$ cắt $(O)$ tại hai điểm $D,K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$). Tia $AD$ cắt đường $(O)$ tại thứ hai $E$. $DK$ cắt $BE$ tại $F$
a) Chứng minh ICEF nội tiếp
b) Chứng minh $\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}$
c) Chứng minh rằng: $BD.CE=BE.CD$ và $BF.CE^2=BE.CD^2$
Câu 4:(1,5 đ)
a) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+1=4y^2$
b) Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn biểu thức $B=x^4-x^2-10x-25$ là số nguyên tố
Câu 5:(1,5 đ)
a) Xét các số thực $a,b,c$ không âm, khác 1 và thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(a+b)(4+5c)$
b) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính bằng $R=4cm$ ($O$ nằm trong tứ giác $ABCD$). Xét 33 điểm phân biệt nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 33 điểm đó luôn tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^2$
Gửi bởi Minhnksc trong 22-05-2017 - 23:39
Câu hệ
Áp dụng BĐT AM-GM; ta có
$(x+y)^3+\frac{3}{x+y}=(x+y)^3+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}\geq 4$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x+y=1$
Từ đó thay $x=1-y$ vào phương trình thứ 2 ta được phương trình mới
Gửi bởi Minhnksc trong 19-05-2017 - 22:37
chắc tìm được cái này cũng mệt đấy . Khoan; ở đấy là $x^2+3y$ mà; còn đề bài trong đây là $x^2+3y^2$
Gửi bởi Minhnksc trong 18-05-2017 - 17:30
Chúc mừng Topic cán mốc $100$ bài !!!!!!!
$\boxed{\text{Bài 100}}$ (Sưu tầm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$; $M$ là điểm chính giữa $\overarc{BC}$ không chứa $A$; kẻ đường kính $MG$; $I$ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(M;MI)$ tại điểm thứ hai $K$; $OI$ cắt $KG$ tại $L$; điểm $P$ đối xứng với $A$ qua $G$. Chứng minh $KO$ đi qua trọng tâm tam giác $API$
Gửi bởi Minhnksc trong 18-05-2017 - 16:42
Đây chính là bài thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu (năm nào đó) do mình lượm được trên diễn đàn nhưng chưa có lời giải nên đăng lên đây
Vì số mũ của mỗi biến là bậc chẵn cho nên nếu $(k,h)$ là nghiệm của hệ thì $(-h,k),(h;-k),(-h;-k)$ cũng là nghiệm, không giảm tổng quát ta giả sử $x,y$ nguyên dương.
Đặt $(x;y)=d$ thì $d^{2}(x_{1}^{2}+3y_{1}^{2})=k^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}+3y_{1}^{2} = a^{2}$ đến đây cũng suy ra được $(x_{1};y_{1})$ cũng là ngiệm của hệ.
Không giảm tổng quát giả sử $(x;y)=1$, công việc của ta là cm $x=y=1$.
Đến đây thì đang tiếp tục với hướng kẹp $3x^{4}+10x^{2}y^{2}+3y^{4}$ nhưng có con số 3 nên khó wa.
Đây là hướng của minh. Mong hữu ích j đó cho mng.
Mình thì lại nghĩ là dùng xuống thang nhưng có vẻ không ổn lắm và nó cũng không hiệu quả; chắc là kẹp sẽ ổn hơn.
Gửi bởi Minhnksc trong 18-05-2017 - 13:30
Tìm $x$ và $y$ nguyên sao cho $x^2+3y^2$ và $y^2+3x^2$ là số chính phương
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học