Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


DOTOANNANG

Đăng ký: 04-04-2017
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 19:00
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: \[\frac{\sum_{cyc}\frac{a^{2...

Hôm nay, 15:23

$$\begin{equation}\begin{split} \sum\frac{a^{2}- bc}{a+ b}= \sum\frac{a^{2}- bc}{a+ b}+ \sum (c- a)= \sum\frac{ca}{a+ b}- \sum\frac{ab}{a+ b}\geqq 0 \end{split}\end{equation}$$

@};-#Luhv

 


Trong chủ đề: Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

Hôm qua, 15:18

@HaiDangel

CHO $2$ SỐ THỰC $x, y$ SAO CHO $x^{2}- 4xy+ 4y^{2}+ 4x^{2}y^{2}= 4$. VẬY KHI $z= x+ y= \max z$ THÌ $x/ y$ CÓ GIÁ TRỊ BAO NHIÊU?


Trong chủ đề: Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

Hôm qua, 15:04

@};- $\lceil$ https://diendantoanhoc.net/topic/186857-cho-abc-l%C3%A0-c%C3%A1c-s%E1%BB%91-th%E1%BB%B1c-d%C6%B0%C6%A1ng-th%E1%BB%8Fa-m%C3%A3n-a-b-c-3-t%C3%ACm-gtnn/#entry719907 $\rfloor$  @};-

Không mất đi tính tổng quát trong chứng minh $\it{,}$ giả sử $\it{0}< \it{a}\leqq \it{b}\leqq \it{c}$ $\it{.}$ Bất đẳng thức trên cũng được viết dưới dạng $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{24}}{\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}}\geqq \it{5}$$

với $\it{:}$

$$\it{a}+ \it{b}+ \it{c}= \it{3}\,\,,\,\,\it{abc}= \it{constant}$$

Ta được một hàm số bậc nhất theo $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}$ $\it{,}$ để đạt được $\min$ thì $\it{a}\leqq \it{b}= \it{c}$ $\it{.}$ $\it{[}$ sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ $\it{]}$ $\it{.}$ Ta cần chứng minh $\it{:}$

$$\it{ab}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{ab}}\geqq \it{5}\,\,\it{(}\,\,\it{0}< \it{a}\leqq \it{1}\leqq \it{b}\,\,,\,\,\it{a}+ \it{2}\,\it{b}= \it{3}\,\,\it{)}$$

$$\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}}\geqq \it{5}\,\,\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{b}- \it{1}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$

Với $\it{0}< \it{b}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\Rightarrow \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}> \it{0}$ $\it{,}$ trong  tình huống ngược lại $\it{:}$

$\it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}$ cho ta $\it{:}$

${\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{6}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{6}\,\it{b}- \it{2}$ có nghiệm $\it{:}$ $\alpha = \frac{\it{3}+ \sqrt{\,\it{21}\,}}{\it{6}}< \frac{\it{3}}{\it{2}}$ $\it{,}$ lập được bảng biến thiên phía dưới $\it{:}$

$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|} \hline \it{b}\,\,\,\,\,\,\, & \it{1} & \it{...} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha & \it{...} & \frac{\it{3}}{\it{2}} \\ \hline {\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)} & \, & \it{-} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\it{0} & \it{+} & \it{0} \\ \hline \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\, & \, & \it{\searrow} & \text{very small} & \it{\nearrow} & \\ \hline \end{array}$$

$\Rightarrow \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{f}\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}= {\it{f}}'\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}\,\it{.}\,\frac{\it{2}\,.\,\alpha - \it{1}}{\it{6}}- \frac{\it{7}\,.\,\alpha - \it{11}}{\it{3}}= \frac{\it{11}- \it{7}\,.\,\it{\alpha }}{\it{3}}> \it{0}\,\,\it{(}\,\,\alpha < \frac{\it{3}}{\it{2}}< \frac{\it{11}}{\it{7}}\,\,\it{)}$ $\it{.}$

Nhận xét $\it{:}$ Bất đẳng thức tổng quát với cùng điều kiện giả thiết $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{k}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{k}+ \it{4}}{\it{ab}+ \it{bc}+ \it{ca}}\geqq \it{k}+ \it{1}\,\,\it{(}\,\,\it{k}\geqq \it{0}\,\,\it{)}$$

Đúng với $\it{:}$

$\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{1}\,\,,\,\,\it{4}\,\,\it{]}\,\, \right )\,\,\wedge \,\,\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{0}\,.\,\it{208381}\,\,,\,\,\it{0}\,.\,\it{839196}\,\,\it{]}\,\, \right )$ và $\it{:}$

$\it{0}\,.\,\it{208381}$ và $\it{0}\,.\,\it{839196}$ là $\it{2}$ nghiệm của phương trình $\it{:}$

$\it{3125}\,\it{k}^{\,\it{6}}- \it{27}\,\it{471}\,\it{k}^{\,\it{5}}+ \it{80994}\,\it{k}^{\,\it{4}}- \it{139}\,\it{549}\,\it{k}^{\,\it{3}}+ \it{268}\,\it{545}\,\it{k}^{\,\it{2}}- \it{199}\,\it{641}\,\it{k}+ \it{31}\,\it{061}= \it{0}$ $\it{.}$

Spoiler

 


Trong chủ đề: Cho a, b, c>0 và $a^3+b^3+c^3-3abc=1$

Hôm qua, 14:59

CÁCH DÙNG CHO LỚP 11 : $uvw$, VÀ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM

@};- $\lceil$ https://diendantoanh...-5#entry721125 $\rfloor$  @};-


Trong chủ đề: Bất đẳng thức

Hôm qua, 14:56

@HaiDangel

VỚI CÙNG GIẢ THIẾT, CHỨNG MINH RẰNG :

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{1}{a^{4}+ b^{2}+ 2ab^{2}}+ \frac{1}{b^{4}+ a^{2}+ 2ba^{2}}\leqq \frac{\frac{a}{a+ b^{2}}+ \frac{b}{b+ a^{2}}}{2}\leqq \frac{1}{2} \end{split}\end{equation}$$

CHO $2$ SỐ THỰC DƯƠNG $a, b$. CHỨNG MINH RẰNG :

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{a}{a+ b^{2}}+ \frac{b}{b+ a^{2}}\leqq 1+ (2ab- a- b)\left ( 2- \frac{1}{a}- \frac{1}{b}- \frac{1}{4ab} \right ) \end{split}\end{equation}$$