Tìm kiếm
Nam
$1<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\leq \frac{3}{2}$
$1< \cos A+ \cos B+ \cos C\leq \frac{3}{2}$
- INXANG, moriran và dai101001000 thích
DOTOANNANG
#701306 $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^...
Gửi bởi
trong 07-02-2018 - 08:35
#701305 tìm min$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9...
Gửi bởi
trong 07-02-2018 - 07:49
$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
$L= \frac{3}{4}\left ( a+ \frac{4}{a} \right )+ \frac{1}{2}\left ( b+ \frac{9}{b} \right )+ \frac{1}{4}\left ( c+ \frac{16}{c} \right )+ \frac{1}{4}\left ( a+ 2b+ 3c \right )\geq 3+ 3+ 2+ 5= 13$
- huyqhx9, mathmath02, INXANG và 2 người khác yêu thích
#701286 $P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 20:28
$$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}.$$
$$P\geq \frac{2}{a+\frac{1}{4}a+b+\frac{1}{12}a+\frac{1}{3}b+\frac{4}{3}c}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}.$$
$$P\geq \frac{3}{2t}-\frac{3}{\sqrt{t}}=\left ( \sqrt{\frac{3}{2t}}-\sqrt{\frac{3}{2}} \right )^{2}-\frac{3}{2}\geq - \frac{3}{2}.$$
$$\left ( a+ b+ c= t \right ).$$
- NMD202, thanhdat2003, Khoa Linh và 1 người khác yêu thích
#701282 cho a,b,c>0
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 20:10
$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^3$
CM: $x^{5}+ 1\geq x^{3}+ x^{2}$
Thật vậy, ta có:
$\frac{2}{5}x^{5}+ \frac{3}{5}\geq x^{2}$
$\frac{3}{5}x^{2}+ \frac{2}{5}\geq x^{3}$
BĐT cần chứng minh trở thành:
$\prod_{cyc}^{ }\left ( a^{3}+ 2 \right )\geq \left ( a+ b+ c \right )^{3}$
Đặt: $x= \sqrt{a}, y= \sqrt{b}, z= \sqrt{c}$
CM: $\prod_{cyc}^{ }\left ( x^{6}+ 2 \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{3}$
$\prod_{cyc}^{ }\left ( x^{6}+ 1+ 1 \right )\geq 3\left ( x^{6}+ 1+ y^{6} \right )\left ( 1+ z^{6}+ 1 \right )\geq \left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )^{2}$
Chybeshev, Cauchy Schwarz:
$3\left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )\left ( x+ y+ z \right )$
$\left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )\left ( x+ y+ z \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{3}$
Từ đó, suy ra đpcm.
- nmtuan2001, Khoa Linh, INXANG và 1 người khác yêu thích
#701276 $ (\frac{2a}{b+c})^{\frac{3}{5}}+(\frac{2b}{c+a})^{\...
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 19:26
USAMO summer program 2002
CM:
$\sum \left ( \frac{2a}{b+ c} \right )^{\frac{3}{5}}\geq 3\sum \left ( \frac{a}{a+ b+ c} \right )= 3$
- INXANG, moriran và dai101001000 thích
#701273 \[a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq6abc\]
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 18:20
CMR:
\[a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq6abc\]
với:
\[a,b,c\subseteq[1,2]\]
- INXANG, moriran và dai101001000 thích
#701270 $\sum \sqrt{\frac{ab}{c(3a+c)}...
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 18:01
$\sum \frac{a}{\left ( a+3b \right )c}=\sum \frac{a^{2}}{\left ( a+3b \right )ca}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{2}c+9abc}=\frac{1}{\sum a^{2}c+9abc }$
Ta có:$\sum a=1\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$$\Rightarrow 8abc\leq \frac{8}{27}$ (Bất đẳng thức AM-GM)
$\sum a^{2}c+abc\leq \frac{4}{27}\left ( \sum a \right )^{3}=\frac{4}{27}$ (Bất đẳng thức Vasc)
$\Rightarrow \sum a^{2}c+9abc\leq \frac{12}{27}\Rightarrow \frac{1}{\sum a^{2}c+9abc}\geq \frac{9}{4}\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( a+3b \right )c}\geq \frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
- Khoa Linh, melodias2002, INXANG và 1 người khác yêu thích
#701256 $min$ $P= \sum \frac{1}{10 -(a+ b)^...
Gửi bởi
trong 06-02-2018 - 10:03
Cho $\sum a^{2}= 3$. Tìm min của:
$P= \sum \frac{1}{10 -(a+ b)^{2}}$
- nmtuan2001, INXANG và moriran thích
#701234 $max$ $Q = {\left( {{x_1} + {x_3...
Gửi bởi
trong 05-02-2018 - 18:39
Giả sử $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ là các số nguyên dương thỏa mãn hệ sau: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 1000\\
{x_1} - {x_2} + {x_3} - {x_4} + {x_5} > 0\\
{x_1} + {x_2} - {x_3} + {x_4} - {x_5} > 0\\
- {x_1} + {x_2} + {x_3} - {x_4} + {x_5} > 0\\
{x_1} - {x_2} + {x_3} + {x_4} - {x_5} > 0\\
- {x_1} + {x_2} - {x_3} + {x_4} + {x_5} > 0
\end{array} \right.$.
Tìm giá trị lớn nhất của $Q = {\left( {{x_1} + {x_3}} \right)^{{x_2} + {x_4}}}$.
#701232 $a^{2b}+ b^{2a}\leq 1$
Gửi bởi
trong 05-02-2018 - 18:31
#701231 $a^{5b^{2}}+ b^{5a^{2}}\le...
Gửi bởi
trong 05-02-2018 - 18:28
Nếu $ a, b$ không âm thoả $ a+ b= 2$. CMR:
$a^{5b^{2}}+ b^{5a^{2}}\leq 2$
- moriran và dai101001000 thích
