Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


trieutuyennham

Đăng ký: 24-04-2017
Offline Đăng nhập: 30-04-2020 - 17:11
***--

#718741 Tìm x

Gửi bởi trieutuyennham trong 27-12-2018 - 21:44

Tìm x biết: $\frac{1}{4x-2010}+\frac{1}{5x+2008}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{6x-2009}$

$pt\Leftrightarrow \frac{1}{5x+2008}+\frac{1}{6x-2009}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{4x-2010}$

$\Leftrightarrow \frac{11x-1}{(5x+2008)(6x-2009)}=\frac{11x-1}{(15x-2011)(4x-2010)}$ ...




#717663 Bất đẳng thức

Gửi bởi trieutuyennham trong 20-11-2018 - 21:01

Cho các số a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$ó

Ta có

$VT=\sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \sqrt{b(\frac{a^{2}}{b}-a+b)}\leq \frac{b+\frac{a^{2}}{b}-a+b}{2}\leq VT$ (Do $\sum a\leq \sum \frac{a^2}{b}$)




#717144 $2x^{3}-x^{2}+\sqrt[3]{2x^{3}-3x...

Gửi bởi trieutuyennham trong 02-11-2018 - 20:37

$2x^{3}-x^{2}+\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$

 

Giúp mình giải bải toán này với ạ :wacko: :wacko:

PT $\Leftrightarrow 2x^3-x^2-3x-1+(\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x^3-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})(\sqrt[3]{(2x^3-3x+1)^2}-\sqrt[3]{2x^3-3x+1}.\sqrt[3]{x^2+2}+\sqrt[3]{(x^2+2)^{2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$




#715508 $P=\frac{3}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|+xy+yz+zx$

Gửi bởi trieutuyennham trong 13-09-2018 - 19:24

Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Tìm max

$P=\frac{3}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|+xy+yz+zx$

                                                                                                      -Triệu Tuyên Nhâm-




#713983 Một bài BĐT hay.

Gửi bởi trieutuyennham trong 07-08-2018 - 15:53

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a2+b2+c2+abc=4. CMR:

                                                   $a+b+c\leq 3$

Bổ đề : với a;b;c không âm ta có bđt sau $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 2^(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1=9\geq (a+b+c)^{2}$ (qed)




#713612 Cho: $a,b,c,d> 0, c^{2}+d^{2}= (a^{2}+...

Gửi bởi trieutuyennham trong 31-07-2018 - 20:57

Cho: $a,b,c,d> 0, c^{2}+d^{2}= (a^{2}+b^{2})^{3}. CMR \frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{ac+bd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}}=1$




#712890 Cho abc

Gửi bởi trieutuyennham trong 20-07-2018 - 18:54

Cho a b c>0 Tìm min P=$\sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$P=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(\sum a^{2}b^{2})+abc(a+b+c)}\geq 1$




#712713 $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}...

Gửi bởi trieutuyennham trong 17-07-2018 - 19:04

Ta c/m : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

$<=> (a+b+c+d)^2\geq 4a(b+c+d)$

(BĐT Cauchy nên đúng)

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d} =2$

Dấu bằng không xảy ra :)

Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c;d)=(0;0;t;t) và các hoán vị




#712707 $\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+...

Gửi bởi trieutuyennham trong 17-07-2018 - 18:48

 

$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$

Mình không hiểu chỗ này.

 

Áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

$P\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq (\frac{4}{a+b}-1)^{2}+4ab+\frac{ab}{4}-1\geq 1$




#712632 \sum\frac{1}{\sqrt{1+8a}}

Gửi bởi trieutuyennham trong 16-07-2018 - 15:31

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$

Do abc=1 nên tồn tại x;y;z thỏa mãn$a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$

BĐT trở thành $\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}\geq 1$ ( IMO 2001)




#712630 $\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+...

Gửi bởi trieutuyennham trong 16-07-2018 - 15:24

Cho $x, y$ dương. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(2y+x)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Đặt $2x+y=a;2y+x=b$

$\Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^{3}+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$




#711563 Cho x y >1 Tìm Min A=$\frac{x^2}{y-1}+...

Gửi bởi trieutuyennham trong 25-06-2018 - 20:24

Cho x y >1 Tìm Min A=$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}$

Theo AM-GM ta có

$A=\frac{x^{2}}{y-1}+4(y-1)+\frac{y^{2}}{x-1}++4(x-1)-4x-4y+8\geq 8$




#711465 $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}...

Gửi bởi trieutuyennham trong 23-06-2018 - 19:22

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$

$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

p/s: Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị. Ngoài cách dồn biến thông thường ra thì mình có tìm được 1 lời giải chỉ cần Cauchy-Schwarz, k biết còn cách nào không :D

mình có 1 cách dùng UCT và vornicu schur

biến đổi bđt về dạng

$\sum (\frac{1}{a}-24a^{2})\geq 1$ (1)

Bằng UCT tìm ra bđt sau

$\frac{1}{a}-24a^{2}\geq -25a+\frac{26}{3}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0$

Như vậy $(1)\Leftrightarrow \sum \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(2a-b-c)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16)(a-c)(a-b)\geq 0$

Không mất tính tq giả sử $a\geq b\geq c$

Đặt $A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16;B=\frac{4}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-16;C=\frac{4}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-16$

Khi đó

$C\geq B\geq A$

Như vậy ta chỉ cấn cm $A\geq 0$

Ta có

$A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16\geq \frac{(2+1+1)^2}{a+b+c}-16\geq0$

Vậy bđt được cm

P/s: bạn nêu cách dùng cauchy-schwarz cho mọi người tham khảo




#711185 CMR $x+y \geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2...

Gửi bởi trieutuyennham trong 18-06-2018 - 19:26

Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn xy=ax+by. CMR:

                          $x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$

Từ đk suy ra 

$1=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$

Áp dụng C-S suy ra đpcm




#708965 CM: $\sum \frac{a^3+b^3}{ab+4} \geq 6...

Gửi bởi trieutuyennham trong 21-05-2018 - 20:56

CM: $\sum \frac{a^3+b^3}{ab+4} \geq 6.$   Với a,b,c>0. và a+b+c=6.

Ta có

$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{ab+6}\geq \sum \frac{\frac{(a+b)^{3}}{4}}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+6}=\sum \frac{(a+b)^{3}}{(a+b)^{2}+16}$

Ta sẽ cm $\frac{t^{3}}{t^{2}+16}\geq t-2$ với t=a+b

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow (t-4)^{2}\geq 0$ (đúng)

tương tự ta có đpcm