trieutuyennham

cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

tìm min $P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

Theo AM-GM ta có

$3y\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow 3y+6\geq x^{2}+1+y^{2}+4+z^{2}+1\Rightarrow 2x+y+2z\leq 6$

Mặt khác áp dụng BĐT $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$, ta có

$P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y+2}{2})^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{64}{(x+1+\frac{y+2}{2}+z+3)^{2}}\geq 1$

For fun

Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng

Bạn có cách khác sử dựng BDT Bunhiacopski ko?

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{(a+b+c)(\sum a^{3}+24abc)}}$

ta sẽ cm 

$\sum a^{3}+24abc \leq (a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được cm

Giải pt: $3(x+2\sqrt{x^2+1})=-3x^2-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1$

Ta có

$VP=-3x^{2}-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1=-(\sqrt{3}x+1)^{2}+3\sqrt{3}\leq 3\sqrt{3}$

Ta chỉ cần cm $VT\geq 3\sqrt{3}$ là xong

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a\geq-2$, $b\geq-2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

$a^2+b^2+4ab+16\geq 4c^2-16c+20$

P/s: Trích toán chung tự nhiên đề thi nam định - tuyển sinh 10.

Do  $a\geq-2$, $b\geq-2$ nên $(a+2)(b+2)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq -2(a+b)-4$

$\Rightarrow VT\geq (a+b)^{2}-4(a+b)+8$

Ta sẽ cm $\Rightarrow VT\geq (a+b)^{2}-4(a+b)+8\geq 4c^{2}-16c+20$ 

biến đổi tương đương sẽ ra

Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2\leq9$. Tìm Max P=$x+y+z+(xy+yz+zx)$

P/s: đề gốc là -(xy+yz+zx) nhưng mình nghĩ là không giải được do ngược dấu nên đổi lại đề.

có lẽ là đề đúng

Ta có

$(x+y+z)^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy\leq 9+2\sum xy$

$\Rightarrow p\leq 2\sqrt{9+2\sum xy}-\sum xy$

Đặt $t=\sum xy$

Ta sẽ tìm khoảng của t

Hiển nhiên $t\leq 9$

Mặt khác

$0\leq (x+y+z)^{2}\leq 9+2t\Rightarrow t\geq -\frac{9}{2}$

Khảo sát hàm số là ra

P/s: đã sửa           

Cho $a,b,c\geq0$. Chứng minh rằng $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geq2$

Giải đủ là ntn

+) tồn tại 1 số =0

giả sử là a

$VT=\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{b}}\geq 2 (AM-GM)$

+) không tồn tại số nào bằng 0

lời giải giống conankun

Dấu =: (a;b;c)=(0;t;t) và cac hoán vị

Cho x,y,z là các số thực dương thuộc [1;4] và x=max{x,y,z}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Ta có

$P=\frac{1}{2+3\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $\frac{x}{z}=a;\frac{z}{y}=b;\frac{y}{x}=c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} abc=1\\ ab\geq 1\\ c\in [\frac{1}{4};1] \end{matrix}\right.$

Do $ab\geq 1$ nên $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{2+3c}+\frac{2}{\sqrt{ab}+1}=\frac{1}{2+3c}+\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}$ 

đến đây thì đơn giản rồi

Cho x,y,z >0 thỏa x+y+z=3. Tìm min $P=x^2+y^2+z^3$

Áp dụng Am-GM ta có

$x^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2}\geq \frac{19-\sqrt{37}}{6}x$

$y^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2}\geq \frac{19-\sqrt{37}}{6}y$

$z^{3}+\sqrt{(\frac{-1+\sqrt{37}}{6})^{3}}+\sqrt{(\frac{-1+\sqrt{37}}{6})^{3}}\geq \frac{19-\sqrt{37}}{6}z$

$\Rightarrow VT\geq \frac{19-\sqrt{37}}{2}$

 

$\boxed{\text{Bài 78}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{(1-y)(1-x^2)}}+\frac{y}{\sqrt{(1-x)(1-y^2)}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)}} \end{matrix}\right$.

ĐK $-1< x;y< 1$

HPT tương đương

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \end{matrix}\right.$

Ta sẽ cm x;y đều dương

thật vậy nếu x;y cùng âm thì vô lý

nếu x;y có 1 số âm . Giả sử x dương;y âm

Ta có$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}< x\leq 1$ (vô lý)

Vậy x;y cùng dương

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+2-x^{2}-y^{2}}{2}=1$

Dấu = xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=1$ $\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

Lại áp dụng cauchy-Schwarz ta có

$\sqrt{2+\sqrt{2}}=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(x+y+2)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho   a,b,c>0   , a+b+c=6

 

                  CMR: 

                                $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq 216$

đề thiếu nha

đây nha bạn

https://diendantoanh...2b22c22leq-216/

Cho    a,b,c>0    ;  a+b+c=1

Tìm min

                            $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{2}$

Theo Schur, ta có

$9abc\geq (a+b+c)(2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2})=2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}=1-2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương $a, b, c$

$\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geq 1$

(Vasile Cirtoaje)

$VT=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \frac{1}{(\frac{b}{a})^2+\frac{b}{a}+1}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z$ thì xyz=1

BĐT cần cm trở thành BĐT quen thuộc

$\sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$

 Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Bổ đề $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$. CM

Theo Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu

Giả sử là $a-1;b-1$ Ta có

$(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow ab+1\geq a+b$

$\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ac+2bc$

Ta sẽ cm:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c+1\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

suy ra đpcm