trieutuyennham

Bài 41:GHPT

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$

Cho a;b;c là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$.

Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Từ đk suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\leq \frac{1}{36}.(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c})\leq \frac{1}{6}$

Cho x,y,z thỏa x+y+z=0

CMR $\frac{x+1}{x^2+3}+\frac{y+1}{y^2+3}+\frac{z+1}{z^2+3}$$\geq 1$

BĐT sai

phải cm $VT\leq VP$

Ta xét 3 trường hợp 

+) $x;y\leq -1;z\geq 2$

Khi đó

$VT\leq \frac{z+1}{z^{2}+3}\leq 1\Leftrightarrow \frac{-z^{2}+z-2}{z^{2}+3}\leq 0$ (đúng)

+) $x\leq -1;\geq y+z\geq 1$

Khi đó

$VT\leq \frac{y+1}{y^{2}+3}+\frac{z+1}{z^{2}+3}\leq 1\Leftrightarrow \frac{-(y-1)^{2}}{2(y^{2}+3)}+\frac{-(z-1)^{2}}{2(z^{2}+3)}\leq 0$ (đúng)

+) $x;y;z\geq -1$

Khi đó

$VT\leq \frac{x+1}{3}+\frac{y+1}{3}+\frac{z+1}{3}=1$

Vậy bt được cm.

Đẳng thức xảy ra x=y=z=0

P/s: Bạn nào có cách hay hơn post lên để cho mọi người tham khảo

Cho x, y, z > 0. Chứng minh BĐT sau đây:

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$

Ta có

$VT(\sum x^{2}+\sum xy)=3+\sum \frac{x(x+y+z)}{y^{2}+yz+z^{2}}\geq 3+\frac{(x+y+z)^4}{(x+y+z)(\sum xy(x+y)+3xyz)}=3+\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}$

Ta cần cm

$3+\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{9(\sum x^{2}+\sum xy)}{(x+y+z)^2}$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}+\frac{9(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2}\geq 6$ (đúng theo AM-GM)

cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn sao cho a + b + c = 3. CMR

$\sqrt{4a+5b}+\sqrt{4b+5c}+\sqrt{4c+5a}\leq 9$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\leq \sqrt{(1+1+1)(4a+5b+4b+5c+4c+5a)}=9$

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm Min của $P=(1+\frac{2}{1-a})(1+\frac{2}{1-b})(1+\frac{2}{1-c})$

Ta có

$P=\prod (1+\frac{2}{1-a})=\prod (\frac{a+b+2}{a+b})$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ b+c=y\\ c+a=z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x+y+z=2$

$\Rightarrow P=\frac{(x+2)(y+2)(z+2)}{xyz}=1+2(\sum \frac{1}{x})+4\sum \frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}\geq 64$

Giải phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=-x^{2}+2x+1$

ĐK $1\leq x\leq 5$

Ta có

$-x^{2}+2x+1=-(x-1)^{2}+2\leq 2$

$(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})^{2}=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\geq 4\Rightarrow VT\geq 2$

$\Rightarrow x=1$

   Cho các số a,b,c thoả mãn :

       $a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0$

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

       $A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc+3ab-3c+5$

  Từ $a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0$ ta suy ra$a=b=c$

Ta có

$A=3a^{2}-3a+5\geq \frac{17}{4}$

1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có:

   S=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<\frac{5}{2}$

Ta có

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{2(n+1)\sqrt{n}}< \frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Áp dụng với n=1;2;,,,,ta được

$S< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})< 2< \frac{5}{2}$

Theo công thức thì mình tính được vế trái:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})^3 = x + y + z + 3(\sqrt[3]{x^2y} + \sqrt[3]{xy^2} + \sqrt[3]{y^2z} + \sqrt[3]{yz^2} + \sqrt[3]{x^2z} + \sqrt[3]{xz^2} +{\color{Red} 2\sqrt[3]{xyz}})$.

Làm thế nào để ra được như thế kia vậy bạn ?

phải ntn mới đúng

Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>

tại đây

https://diendantoanh...rac1cleq-10036/

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

sr BĐT sai rồi

Đề đúng phải là $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}-x+ \sqrt{y^2+x+y+1}-y=2 \\ \sqrt{x^2+x+y+1}+x+ \sqrt{y^2+x+y+1}+y=18 \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra $\left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \sqrt{x^{2}+x+y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=10 \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT MInkowski ta có

$10=\sqrt{x^{2}+x+y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{y^{2}+9}\geq \sqrt{(x+y)^{2}+(3+3)^{2}}=10$

$\Rightarrow x=y=4$

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$VT=\sum \frac{1}{a^{2}+b}\leq\sum \frac{1}{2a\sqrt{b}}=\sum \frac{\sqrt{bc}}{2abc}\leq\sum \frac{b+c}{4abc}=VP$