Đến nội dung

I am the King

I am the King

Đăng ký: 25-04-2017
Offline Đăng nhập: 05-11-2017 - 20:00
-----

#687982 Cmr:$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}...

Gửi bởi I am the King trong 18-07-2017 - 22:59

Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.

Suy ra tồn tại 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{y}\\ b=\frac{z}{x}\\ c=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Vasc ta có:

$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum y^3z}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\frac{1}{3}.(\sum y^2)^2+\frac{1}{3}(\sum y^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=1$