Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hero Crab

Đăng ký: 04-05-2017
Offline Đăng nhập: 19-11-2019 - 12:37
****-

#718058 Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},x_{3},....

Gửi bởi Hero Crab trong 02-12-2018 - 12:27

1) (Crux Math) Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ $\left ( n\geqslant 2 \right )$ sao cho $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1$. CMR:

$\sum_{j=1}^{n}\frac{x_{j}}{\sqrt{1-x_{j}}}\geqslant \frac{\sum_{j=1}^{n}\sqrt{x_{j}}}{\sqrt{n-1}}$

2) (Crux Math) Cho các số dương x,y,z.CMR:
$\frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}}\geqslant \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$

Giúp em làm 2 bài trên vs <3




#717815 Tìm GTNN của biểu thức: $P= \sum \frac{a^{4}...

Gửi bởi Hero Crab trong 25-11-2018 - 18:01

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương

$\frac{a^{4}}{b\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{2\left ( a+c \right )}{8}+\frac{b}{4}\geqslant a$

$\frac{b^{4}}{c\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{2\left ( a+b \right )}{8}+\frac{c}{4}\geqslant b$
$\frac{c^{4}}{a\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{2\left ( b+c \right )}{8}+\frac{a}{4}\geqslant c$
Cộng vế theo vế ta có: $\frac{a^{4}}{b\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{b^{4}}{c\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{c^{4}}{a\left ( b+c \right )^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{4}=3$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=4$



#717764 CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(...

Gửi bởi Hero Crab trong 24-11-2018 - 18:44

Ta có: a,b,c>0 nên theo bđt AM-GM $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3abc$ nên $VT\geqslant 0$

Xét $b+c \leqslant 2a$ Thì ta có $VT\geqslant 0$ và $VP \leqslant 0$ nên ta có đpcm

Xét $b+c \geqslant 2a$ BĐT đã cho tương đương với 

$4\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

Vì a dương và $2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant 0$ nên ta có 

$a+b+c\geqslant b+c-2a; 2\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}+2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}$

Nhân vế theo vế ta có ĐPCM




#717479 Bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 14-11-2018 - 18:30

Ta có:
$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}=\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}$

Áp dụng BĐT Cauchy

$\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}\geqslant \frac{2a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}$

Mà $2bc \leqslant b^{2}+c^{2}$ 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{a^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

CMTT ta cũng có: $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+\left ( a+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{b^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} ; \sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}}}\geqslant \frac{c^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cộng vế lại ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c




#716973 $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{...

Gửi bởi Hero Crab trong 28-10-2018 - 11:44

Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1

Thay vào biểu thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}$

Ta có $\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54a}{25} $

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 6a+1 \right )}{25\left ( 1-2a+2a^{2} \right )}\geqslant 0(Đúng,  a\geqslant 0)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{\left (1-2b  \right )^{2}}{\left ( 1-b \right )^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54b}{25}  $;$\frac{\left (1-2c  \right )^{2}}{\left ( 1-c \right )^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54c}{25}  $

Cộng theo vế lại ta được: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{69}{25}-\frac{54\left(a+b+c\right)}{25}=\frac{69}{25}-\frac{54}{25}=\frac{3}{5}(Đpcm)$

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$




#716950 Topic BẤT ĐẲNG THỨC ôn thi vào lớp 10 THPT 2017 - 2018

Gửi bởi Hero Crab trong 27-10-2018 - 19:12

Các bác giúp e bài này
a , b là các số dương.
a.b > 2016.a+2017.b
CMR: a+b>[(căn(2016)+căn(2017)]^2
P/s: các bạn thông cảm mình chưa gõ được công thức. Thanks

Cách khác: Từ gt $\Rightarrow 1>\frac{2016}{b}+\frac{2017}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>\frac{2016\left(a+b\right)}{b}+\frac{2017\left(a+b\right)}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>2016+2017+\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương $\frac{2016a}{b}$ và $\frac{2017b}{a}$ ta có 

$\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}>2\sqrt{2016.2017}$

$\Rightarrow a+b>2016+2017+2\sqrt{2016.2017}=\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^{2}(Đpcm)$




#716928 [TOPIC] Sáu Bảy Tám Chín.

Gửi bởi Hero Crab trong 26-10-2018 - 21:01

Bài 118: $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-2x-7$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+4x+7+\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{2}\left(x+2\right)^2+x\left(x+2\right )$

Đặt $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=a>0$, $x\left(x+2\right )=b$

PT đã cho trở thành $a^2+a=b^2+b$

$\Rightarrow a=b$ hay $a=-1-b$

$TH1:a=b$ $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=x\left(x+2\right )$

$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-7=0(ĐK: x\geqslant 0 .hay. x\leqslant  -2)$

$\Leftrightarrow x=-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận).hay .x=-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận)$

$TH2:a=-1-b$  $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=-\left(x+1\right)^{2}$

$\Rightarrow x \in \varnothing$

Vậy PT có No S={$-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)};-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}$} @@




#716745 số học 9

Gửi bởi Hero Crab trong 20-10-2018 - 13:07

Giả sử $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow n^{2}+n+1 \vdots 3$

Ta có :$n^{2}+n+1=\left ( n+2 \right )^{2}-3\left ( n+1 \right )$

Vì $n^{2}+n+1 \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right ) \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 9$

Mà $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow 3\left ( n+1 \right ) \vdots 9$ (Vô lý)

$\Rightarrow ĐPCM$




#716560 Chứng minh BĐT

Gửi bởi Hero Crab trong 14-10-2018 - 13:26

BĐT đã cho tương đương với:

$abc\geqslant  \left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right) \left(b+c-a\right)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

TH1:$a+b-c<0$=> (1) đúng

TH2:$a+b-c\geqslant 0$ áp dụng bđt cauchy ta có:
$\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )\leqslant \left ( \frac{a+b-c+a+c-b}{2} \right )^{2}=a^{2}$

Tương tự ta cũng có: $\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant b^{2}$ ; $\left ( a+c-b \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant c^{2}$

Nhân theo từng vế ta có ĐPCM




#716558 Cm bất đẳng thức sau

Gửi bởi Hero Crab trong 14-10-2018 - 12:42

Cách khác: 

Ta có $b+c\geqslant 16abc$

$\Leftrightarrow b+c-16abc\geqslant0$

$\Leftrightarrow b+c-16bc\left(1-b-c \right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(16b^{2}-8b +1\right )+b\left( 16c^{2}-8c+1\right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(4b-1 \right )^{2}+b\left(4c-1 \right )^{2}\geqslant 0 (Đúng)$

Dấu "=" xảy ra khi $b=c= \frac{1}{4}; a=\frac{1}{2}$ ^^




#716557 CMR: $(1+\frac{a+b+c}{3})^{3}\ge...

Gửi bởi Hero Crab trong 14-10-2018 - 12:07

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương a+1,b+1,c+1 ta có 

$\left ( \frac{a+1+b+1+c+1}{3} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{3\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}{3} \right )^{3}=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

Ta có: $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geqslant \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

$\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số a,b,c dương ta có: $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ ; $ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương 1; $\sqrt[3]{abc}$ ta có: $\left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}\geqslant \left ( 2\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{3}=8\sqrt{abc}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c




#716543 Tìm $x$ để phương trình đạt giá trị nhỏ nhất

Gửi bởi Hero Crab trong 13-10-2018 - 22:08

Cái đó là tìm min của biểu thức, không phải của phương trình nha bạn
Áp dụng bđt bunhia ta có 

$\sqrt{\left (  \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-4 \right )^{2}\right )\left ( \frac{16}{9}+\frac{25}{9} \right )} .\frac{3}{\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{16}{3}-\frac{x}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{41}}$

$\sqrt{\left (  \left ( x-5 \right )^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}\right )\left ( \frac{64}{9}+\frac{100}{9} \right )} .\frac{3}{2\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{2x}{3}+\frac{50}{3} \right ).\frac{3}{2\sqrt{41}}$

$\Rightarrow \sqrt{\left(x-1\right)^{2}+\left(x-4\right)^{2}}+\sqrt{\left(x-5\right)^{2}+\left(x+1\right)^{2}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{41}}\left(\frac{x}{3}-\frac{x}{3}+\frac{16}{3}+\frac{25}{3}\right)=\sqrt{41}$

Dấu "=" xảy ra khi x= $\frac{7}{3}$ 




#716391 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 17:54

Ta viết lại biểu thức $u= \sum\limits_{cyc}\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}$ dưới dạng:

$$u= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}}$$

Vì vậy trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$ ta xét các điểm:

$$\text{O}\,\left ( 0,\,0 \right ),\,\text{A}_{1}\,\left ( \sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x \right ),\,\text{A}_{2}\,\left ( 2\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y \right ),\,\text{A}_{3}\,\left ( 3\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z \right )$$

Khi đó:

$$\left\{\begin{matrix} \text{OA}_{1}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{2}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{3}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z= \sum\limits_{cyc} \left (\frac{1}{x}+ 9\,x \right )- 10\,\sum\limits_{cyc}x\geqq 18- 10= 8$. Khi đó, ta luôn có:

$$u= \text{OA}_{1}+ \text{A}_{1}\text{A}_{2}+ \text{A}_{2}\text{A}_{3}\geqq \text{OA}_{3}\geqq \sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+ 8^{2}}= \sqrt{82}$$

Dấu bằng xảy ra khi: 

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}= 9\,x,\,\frac{1}{y}= 9\,y,\,\frac{1}{z}= 9\,z\\ x+ y+ z= 1 \end{matrix}\right.$$

[mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$!]

topic trung học cơ sở mà anh dùng lời giải gắt thế anh :))




#716390 BĐT Toán Chuyên Quảng Nam 2018-2019

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 17:46

BĐT cần cm tương đương với:

$\left ( a+b+c \right )\left ( \sum_{cyc}\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )\leqslant 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

$<=>\sum _{cyc}\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$<=>\sum_{cyc}\left(c^{2}-\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\right)\geqslant 0$

$<=>\sum_{cyc}\frac{ac\left(c-a\right)^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\geqslant 0$ (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c ^^




#716382 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 15:57

Cách khác:
Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có

$\sqrt{\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{x}{3}+\frac{3}{x} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{y}{3}+\frac{3}{y} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( z^{2}+\frac{1}{z^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{z}{3}+\frac{3}{z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Cộng theo vế lại ta được: 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geqslant $ $\left ( \frac{x+y+z}{3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có: 

$ \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$= $\left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left (x+y+z  \right )}+\frac{80}{3\left ( x+y+z \right )} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{2}{3}+\frac{80}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}$ (Đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= $\frac{1}{3}$ ^^