Đến nội dung

Hero Crab

Hero Crab

Đăng ký: 04-05-2017
Offline Đăng nhập: 04-04-2019 - 23:14
****-

#718058 Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},x_{3},....

Gửi bởi Hero Crab trong 02-12-2018 - 12:27

1) (Crux Math) Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ $\left ( n\geqslant 2 \right )$ sao cho $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1$. CMR:

$\sum_{j=1}^{n}\frac{x_{j}}{\sqrt{1-x_{j}}}\geqslant \frac{\sum_{j=1}^{n}\sqrt{x_{j}}}{\sqrt{n-1}}$

2) (Crux Math) Cho các số dương x,y,z.CMR:
$\frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}}\geqslant \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$

Giúp em làm 2 bài trên vs <3




#717815 Tìm GTNN của biểu thức: $P= \sum \frac{a^{4}...

Gửi bởi Hero Crab trong 25-11-2018 - 18:01

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương

$\frac{a^{4}}{b\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{2\left ( a+c \right )}{8}+\frac{b}{4}\geqslant a$

$\frac{b^{4}}{c\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{2\left ( a+b \right )}{8}+\frac{c}{4}\geqslant b$
$\frac{c^{4}}{a\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{2\left ( b+c \right )}{8}+\frac{a}{4}\geqslant c$
Cộng vế theo vế ta có: $\frac{a^{4}}{b\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{b^{4}}{c\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{c^{4}}{a\left ( b+c \right )^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{4}=3$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=4$



#717764 CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(...

Gửi bởi Hero Crab trong 24-11-2018 - 18:44

Ta có: a,b,c>0 nên theo bđt AM-GM $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3abc$ nên $VT\geqslant 0$

Xét $b+c \leqslant 2a$ Thì ta có $VT\geqslant 0$ và $VP \leqslant 0$ nên ta có đpcm

Xét $b+c \geqslant 2a$ BĐT đã cho tương đương với 

$4\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

Vì a dương và $2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant 0$ nên ta có 

$a+b+c\geqslant b+c-2a; 2\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}+2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}$

Nhân vế theo vế ta có ĐPCM




#717479 Bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 14-11-2018 - 18:30

Ta có:
$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}=\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}$

Áp dụng BĐT Cauchy

$\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}\geqslant \frac{2a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}$

Mà $2bc \leqslant b^{2}+c^{2}$ 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{a^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

CMTT ta cũng có: $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+\left ( a+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{b^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} ; \sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}}}\geqslant \frac{c^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cộng vế lại ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c




#716973 $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{...

Gửi bởi Hero Crab trong 28-10-2018 - 11:44

Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1

Thay vào biểu thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}$

Ta có $\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54a}{25} $

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 6a+1 \right )}{25\left ( 1-2a+2a^{2} \right )}\geqslant 0(Đúng,  a\geqslant 0)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{\left (1-2b  \right )^{2}}{\left ( 1-b \right )^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54b}{25}  $;$\frac{\left (1-2c  \right )^{2}}{\left ( 1-c \right )^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54c}{25}  $

Cộng theo vế lại ta được: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{69}{25}-\frac{54\left(a+b+c\right)}{25}=\frac{69}{25}-\frac{54}{25}=\frac{3}{5}(Đpcm)$

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$




#716950 Topic BẤT ĐẲNG THỨC ôn thi vào lớp 10 THPT 2017 - 2018

Gửi bởi Hero Crab trong 27-10-2018 - 19:12

Các bác giúp e bài này
a , b là các số dương.
a.b > 2016.a+2017.b
CMR: a+b>[(căn(2016)+căn(2017)]^2
P/s: các bạn thông cảm mình chưa gõ được công thức. Thanks

Cách khác: Từ gt $\Rightarrow 1>\frac{2016}{b}+\frac{2017}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>\frac{2016\left(a+b\right)}{b}+\frac{2017\left(a+b\right)}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>2016+2017+\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương $\frac{2016a}{b}$ và $\frac{2017b}{a}$ ta có 

$\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}>2\sqrt{2016.2017}$

$\Rightarrow a+b>2016+2017+2\sqrt{2016.2017}=\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^{2}(Đpcm)$




#716928 [TOPIC] Sáu Bảy Tám Chín.

Gửi bởi Hero Crab trong 26-10-2018 - 21:01

Bài 118: $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-2x-7$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+4x+7+\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{2}\left(x+2\right)^2+x\left(x+2\right )$

Đặt $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=a>0$, $x\left(x+2\right )=b$

PT đã cho trở thành $a^2+a=b^2+b$

$\Rightarrow a=b$ hay $a=-1-b$

$TH1:a=b$ $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=x\left(x+2\right )$

$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-7=0(ĐK: x\geqslant 0 .hay. x\leqslant  -2)$

$\Leftrightarrow x=-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận).hay .x=-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận)$

$TH2:a=-1-b$  $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=-\left(x+1\right)^{2}$

$\Rightarrow x \in \varnothing$

Vậy PT có No S={$-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)};-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}$} @@




#716745 số học 9

Gửi bởi Hero Crab trong 20-10-2018 - 13:07

Giả sử $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow n^{2}+n+1 \vdots 3$

Ta có :$n^{2}+n+1=\left ( n+2 \right )^{2}-3\left ( n+1 \right )$

Vì $n^{2}+n+1 \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right ) \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 9$

Mà $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow 3\left ( n+1 \right ) \vdots 9$ (Vô lý)

$\Rightarrow ĐPCM$




#716558 Cm bất đẳng thức sau

Gửi bởi Hero Crab trong 14-10-2018 - 12:42

Cách khác: 

Ta có $b+c\geqslant 16abc$

$\Leftrightarrow b+c-16abc\geqslant0$

$\Leftrightarrow b+c-16bc\left(1-b-c \right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(16b^{2}-8b +1\right )+b\left( 16c^{2}-8c+1\right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(4b-1 \right )^{2}+b\left(4c-1 \right )^{2}\geqslant 0 (Đúng)$

Dấu "=" xảy ra khi $b=c= \frac{1}{4}; a=\frac{1}{2}$ ^^




#716557 CMR: $(1+\frac{a+b+c}{3})^{3}\ge...

Gửi bởi Hero Crab trong 14-10-2018 - 12:07

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương a+1,b+1,c+1 ta có 

$\left ( \frac{a+1+b+1+c+1}{3} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{3\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}{3} \right )^{3}=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

Ta có: $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geqslant \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

$\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số a,b,c dương ta có: $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ ; $ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương 1; $\sqrt[3]{abc}$ ta có: $\left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}\geqslant \left ( 2\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{3}=8\sqrt{abc}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c




#716543 Tìm $x$ để phương trình đạt giá trị nhỏ nhất

Gửi bởi Hero Crab trong 13-10-2018 - 22:08

Cái đó là tìm min của biểu thức, không phải của phương trình nha bạn
Áp dụng bđt bunhia ta có 

$\sqrt{\left (  \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-4 \right )^{2}\right )\left ( \frac{16}{9}+\frac{25}{9} \right )} .\frac{3}{\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{16}{3}-\frac{x}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{41}}$

$\sqrt{\left (  \left ( x-5 \right )^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}\right )\left ( \frac{64}{9}+\frac{100}{9} \right )} .\frac{3}{2\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{2x}{3}+\frac{50}{3} \right ).\frac{3}{2\sqrt{41}}$

$\Rightarrow \sqrt{\left(x-1\right)^{2}+\left(x-4\right)^{2}}+\sqrt{\left(x-5\right)^{2}+\left(x+1\right)^{2}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{41}}\left(\frac{x}{3}-\frac{x}{3}+\frac{16}{3}+\frac{25}{3}\right)=\sqrt{41}$

Dấu "=" xảy ra khi x= $\frac{7}{3}$ 




#716391 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 17:54

Ta viết lại biểu thức $u= \sum\limits_{cyc}\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}$ dưới dạng:

$$u= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}}$$

Vì vậy trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$ ta xét các điểm:

$$\text{O}\,\left ( 0,\,0 \right ),\,\text{A}_{1}\,\left ( \sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x \right ),\,\text{A}_{2}\,\left ( 2\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y \right ),\,\text{A}_{3}\,\left ( 3\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z \right )$$

Khi đó:

$$\left\{\begin{matrix} \text{OA}_{1}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{2}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{3}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z= \sum\limits_{cyc} \left (\frac{1}{x}+ 9\,x \right )- 10\,\sum\limits_{cyc}x\geqq 18- 10= 8$. Khi đó, ta luôn có:

$$u= \text{OA}_{1}+ \text{A}_{1}\text{A}_{2}+ \text{A}_{2}\text{A}_{3}\geqq \text{OA}_{3}\geqq \sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+ 8^{2}}= \sqrt{82}$$

Dấu bằng xảy ra khi: 

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}= 9\,x,\,\frac{1}{y}= 9\,y,\,\frac{1}{z}= 9\,z\\ x+ y+ z= 1 \end{matrix}\right.$$

[mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$!]

topic trung học cơ sở mà anh dùng lời giải gắt thế anh :))




#716390 BĐT Toán Chuyên Quảng Nam 2018-2019

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 17:46

BĐT cần cm tương đương với:

$\left ( a+b+c \right )\left ( \sum_{cyc}\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )\leqslant 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

$<=>\sum _{cyc}\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$<=>\sum_{cyc}\left(c^{2}-\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\right)\geqslant 0$

$<=>\sum_{cyc}\frac{ac\left(c-a\right)^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\geqslant 0$ (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c ^^




#716382 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 15:57

Cách khác:
Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có

$\sqrt{\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{x}{3}+\frac{3}{x} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{y}{3}+\frac{3}{y} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( z^{2}+\frac{1}{z^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{z}{3}+\frac{3}{z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Cộng theo vế lại ta được: 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geqslant $ $\left ( \frac{x+y+z}{3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có: 

$ \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$= $\left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left (x+y+z  \right )}+\frac{80}{3\left ( x+y+z \right )} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{2}{3}+\frac{80}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}$ (Đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= $\frac{1}{3}$ ^^




#716378 Bất đẳng thức Nâng cao

Gửi bởi Hero Crab trong 07-10-2018 - 15:08

Vì abc=1 nên tồn tại x,y,z dương sao cho $a=\frac{x}{y}$ ; $b=\frac{y}{z}$ ; $c=\frac{z}{x}$

BĐT cần cm tương đương với: $\left ( x+z-y \right )\left ( y+x-z \right )\left ( z+y-x \right )\leqslant xyz$

Từ đây ta đặt $\left ( x+z-y \right )=a'$ ; $\left (  y+x-z \right )=b'$ ; $\left ( z+y-x \right )=c'$

BĐT cần cm trở thành: $\left ( a'+b' \right )\left ( b'+c' \right )\left ( c'+a' \right )\geqslant 8a'b'c'$ 

BĐT này dễ dàng cm bằng bđt am-gm ^^ Đây cũng chính là câu bất trong kì thi IMO 2001 ^^