Cosmos Lucio

1. $B=\frac{C-A}{A}$

2. $A=\frac{C}{B+1}$

Bài này mình làm như sau:

Thử với $p=2;3;5$ ta nhận $p=2;5$.

Với $p$ là số nguyên tố lơn hơn $5$, ta có $p$ không chia hết cho $2$, $3$ và $5$.

Ta chứng minh được $p^8 +1979$ chia hết cho $2^2.3.5$.

Tức hiện tại ta đang có: $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ ước dương..

Và ta có $p>5$ nên $p^8+1979$ lơn hơn $2^2.3.5$,nên $p^8+1979$ có nhiều hơn $12$ ước dương.

Nếu $p^8+1979$ có thêm 1 ước nguyên tố khác $2;3;5$ thì ta có đpcm.

Nếu $p^8+1979$ có không có ước nguyên tố nào khác $2;3;5$ thì $p^8+1979>300=2^2.3.5^2>180=2^2.3^2.5$, thì ta cũng có đpcm.

Vậy, tập nghiệm nguyên tố p thỏa yêu cầu bài là $(2;5)$.

Câu 5: Thì cách mình thế này:

Ta chứng minh được $n>0$ vì vế trái của phương trình chia hết cho 2, nên $(2+10^n)$ chia hết cho $2$, nên $n\geq1$ 

Với $m\geq2$ thì $5^m(2+10^n)$ chia hết cho $25$, nên $k^2-k+4$ chia hết cho $25$.

Nên $k(k-1)\equiv-4\equiv 21=1.21=3.7$ (mod 25).

Mà điều trên là không thể, nên $k^2-k+4$ không chia hết cho $25$, với mọi số tự nhiên $k$. Ta được $m=0;m=1$.

Với $m=0$ thì ta có:

$k^2-k+2=10^n$. Với $\Delta=1^2-4(2-10^n)=4*10^n-7$ là số chính phương.

Nhưng ta thấy $\Delta$ trên luôn có chữ số tận cùng là $3$, nên $\Delta$ không thể là số chính phương.

Nên với $m=0$ thì phương trình không có nghiệm $n;k$ tự nhiên.

Với $m=1$ thì ta có:

$k^2-k-6=5.10^n$. Với $\Delta=1-4(-6-5.10^n)=20.10^n+25$ là số chính phương.

Nên $\Delta$ chính phương thì có dạng $(10q+5)^2$. Nên $20.10^n+25=(10q+5)^2$.

Hay $5q^2+5q=5q(q+1)=5.10^n=2^n.5^{n+1}$.

Đến đây thì mình tìm được $n=1;n=2$. Nên có được $k=8;k=23$.

Vậy nên, tập nghiệm $(m,n,k)$ của phương trình là $(1;1;8);(1;2;23)$

Câu 1: Mình làm thế này:

Ta có: $a_{n+1}=(a_n-2)^3+5(a_n-2)^2+5(a_n-2)$

Với: $a_1-2=2017-2=2015$ chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 25.

Nên đặt $a_1=5k$ với $k$ là số tự nhiên khác 0 và $(k;5)=1$

Từ đó ta được: $a_2-2=(5k)^3+5(5k)^2+5(5K)=5^2k(5k^2+5k+1)$

Suy ra:$(a_2-2)$ chia hết cho 25, nhưng không chia hết cho 125.

Tương tự vậy, chững minh bằng quy nạp ta được:

$(a_n-2)$ chia hết cho $5^n$, nhưng không chia hết hết cho $5^{n+1}$.

Nên, để $(a_n-2)$ chia hết cho $5^{2017}$ thì $n\ge2017$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ thỏa yêu cầu bài là $n=2017$.