anonymous01

AB,AC lần lượt cắt (BOC) tại R,Q khác B,C. S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ.H' là giao của (AXP) với AH và H' khác A. K là tâm của (BOC).E thuộc A) sao cho KE//OX (AE=KE). Ta có những kết quả đơn giản sau:

ABC đồng dạng AQR ,tam giác QAB,RAC lần lượt cân tại Q và R, nên O là trực tâm tam giác ARQ. A,P đối xứng qua RQ; S,K đối xứng qua RQ;SK=AO. (những t/c trên em xin ko chứng minh lại) .

Do tứ giác AH'XP và ASKP nội tiếp nên tam giác KPX đồng dạng tam giác SPH'(g.g) suy ra KX/SH'=KP/SP=AS/AK  (1)

KE//OX suy ra OE/KX=AE/AK                                                                                                                                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra OE/SH'=AS.AE/AK² => OE=AS.AE.SH'/AK²                                                                         (3)

Ta có AK²+SK²-AS²=2cos(AKS).AK.SK hay AK²+AO²-AS²=AK².AO/AE hay AO²-AS²=AK².EO/AE     (4)

Từ (3) và (4) suy ra AO²-AS²=AS.SH' hay AO²=AS.AH'

Mặt khác: tam giác ABC đồng dạng tam giác AQR nên AO/AH=AS/AO

=> H' trùng H

Vậy AX luôn đi qua K cố định.