AB,AC lần lượt cắt (BOC) tại R,Q khác B,C. S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ.H' là giao của (AXP) với AH và H' khác A. K là tâm của (BOC).E thuộc A) sao cho KE//OX (AE=KE). Ta có những kết quả đơn giản sau:
ABC đồng dạng AQR ,tam giác QAB,RAC lần lượt cân tại Q và R, nên O là trực tâm tam giác ARQ. A,P đối xứng qua RQ; S,K đối xứng qua RQ;SK=AO. (những t/c trên em xin ko chứng minh lại) .
Do tứ giác AH'XP và ASKP nội tiếp nên tam giác KPX đồng dạng tam giác SPH'(g.g) suy ra KX/SH'=KP/SP=AS/AK (1)
KE//OX suy ra OE/KX=AE/AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra OE/SH'=AS.AE/AK2 => OE=AS.AE.SH'/AK2 (3)
Ta có AK2+SK2-AS2=2cos(AKS).AK.SK hay AK2+AO2-AS2=AK2.AO/AE hay AO2-AS2=AK2.EO/AE (4)
Từ (3) và (4) suy ra AO2-AS2=AS.SH' hay AO2=AS.AH'
Mặt khác: tam giác ABC đồng dạng tam giác AQR nên AO/AH=AS/AO
=> H' trùng H
Vậy AX luôn đi qua K cố định.
- quanghung86, royal1534 và NHoang1608 thích