8A6 Cau Giay

     BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƯ PHẠM                                              

 

$\boxed{\text{ ĐỀ CHÍNH THỨC}}$

                                                             

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN 2017

Môn thi:toán (Vòng 1)

(Dùng cho thí sinh thi vào trường chuyên)

Thời gian:120'

 

Câu 1:(2điểm)  Cho biểu thức:

 

$P=\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{\left ( 1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}} \right )\left ( a+\sqrt{a+b} \right )}:\left ( \frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b}{a-b} \right )$

 

Với $a;b>0;a\neq b;a+b\neq a^{2}$

 

1.Chứng minh:$P=a-b$

2.Tìm $a,b$ biết $P=1$ và $a^{3}-b^{3}=7$

 

Câu 2:(1 điểm) Giả sử $x,y$ thực phân biệt thỏa mãn:

 

$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{2}{xy+1}$

 

Tính $S=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}$

 

Câu 3:(2 điểm) Cho Parabol $(P):y=x^{2}$ và đường thẳng $(d) :y=-2ax-4a$ với $a$ à tham số.

 

1. Tìm tọa độ $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ khi $a=-\frac{1}{2}$

2.Tìm $a$ sao cho $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1};x_{2}$ sao cho $\left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |=3$

 

Câu 4:(1 điểm) Anh Nam đi xe đạp từ $A$ đến $C$.Trên $AB$ ban đầu với $B$ giữa $A,C$.Nam đi với vận tốc không đổi $a(km/h)$.Thời gian đi là $1,5 h$.Trên $BC$,Nam đi với vận tốc tại thời điểm $t$ kể từ $B$ là $v=-8t+a$.Quãng đường đi từ $B$ đến thời điểm $t$ đó là: $S=-4t^{2}+at$.Tính $AB$ biết đến $C$ xe dừng hẳn và $BC=16 km$.

 

Câu 5:(3 điểm) Cho $(O,R)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$.Tiếp tuyến của đường tròn tại $B,C$ cắt nhau tại $P$.$PD,PE\bot AB,AC$. $M$ là trung điểm $BC$.

 

1.Chứng minh:$\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$

2.Giả sử $B,C$ cố định, $A$ chạy trên $(O)$ sao cho $\triangle ABC$ luôn nhọn.Chứng minh $DE$ đi qua điểm cố định.

3.Khi $\triangle ABC$ đều. TÍnh $S_{ADE}$ theo $R$.

 

Câu 6:( 1điểm) $x_{1},x_{2},...,x_{9}\in \mathbb{R}$ không âm thỏa mãn:

 

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{9}=10 & \\ x_{1}+2x_{2}+...+9x_{9}=18 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh:$1.19x_{1}+2.18x_{2}+...+9.11x_{9}\geq 270$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

 

 

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN 2017

Môn thi:toán (Vòng 2)

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên toán,tin)

Thời gian:150'

 

 

Câu 1:(1,5 điểm) Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh trong 4 số :

 

$a^{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c};b^{2}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d};c^{2}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a};d^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

 

có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3.

 

Câu 2:(1,5 điểm) Giải phương trình:

 

$\sqrt{(x^{2}+2x)^{2}+4(x+1)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}+(x^{2}+x)^{2}}=2017$

 

Câu 3:(3 điểm) 

 

1.Tìm $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho:

 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=b^{3} & \\ c^{3}=d^{4} & \\ a=d+98 & \end{matrix}\right.$

 

2.Tìm $x\in \mathbb{R}$ sao cho trong 4 số:

 

$x-\sqrt{2},x^{2}+2\sqrt{2},x-\frac{1}{x},x+\frac{1}{x}$

 

Có 1 số không nguyên.

 

Câu 4:(3 điểm) Cho đường tròn $(O,R);M$ ngoài $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O)$.Trên $AB$ lấy $C$. $I,K$ là trung điểm $MA,MC$. Đường thẳng $KA$ cắt $(O)$ tại $D$.

 

1.Chứng minh: $KO^{2}-KM^{2}=R^{2}$

2.Chứng minh: $BCDM$ nội tiếp.

3.$MD\cap (O)\equiv E;KE\cap (O)\equiv F$. $N$ là trung điểm $KE$. Chứng minh: $I,A,N,F$ đồng viên.

 

Câu 5:(1 điểm) xét hình dưới:

Viết các số $1,2,3...,9$ vào 9 điểm trong hình bên sao cho mỗi số xuất hiện 1 lần và tổng 3 số trên mỗi cạnh tam giác là 18.Hai cách viết gọi là như nhau nếu bộ số viết ở các điểm $(A,B,C,D,E,F,G,H,K)$ của mỗi cách là trùng nhau.

Hỏi có bao cách viết phân biệt? Tại sao?

2(A+B+C)+D+E+F=3.18=54

Mà 2(D+E+F)+G+H+K=3.18=54

Nên 2(A+B+C)=(D+E+F)+(G+H+K)

Đến đây dễ rồi.