Cho p nguyên tố >2 Tìm số dư khi chia $2^{2^{p}}$ cho $2^{p}-1$
- MoMo123 yêu thích
Vũ Hoàng Huy - 10T2 LS - 1720
Gửi bởi F IT Hacker trong 19-07-2017 - 20:46
Gửi bởi F IT Hacker trong 05-07-2017 - 19:56
2) Ta có một số công thức như sau:
1.$_{b}^{a}\textrm{C}=_{b-1}^{a}\textrm{C}+_{b-1}^{a-1}\textrm{C}$
2.$_{n}^{0}\textrm{C}+_{n}^{1}\textrm{C}+...+_{n}^{n}\textrm{C}=2^{n}$
Công thức 2 dễ dàng cm bằng cách khai triển nhị thức Newton $(a+b)^{n}$ với a=b=1
Quay lại bài toán:
Ta có: $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=(_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2017}^{1}\textrm{C}+_{2017}^{2}\textrm{C}+...+_{2017}^{1007}\textrm{C}+_{2017}^{1008}\textrm{C})-_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{0}\textrm{C}=\frac{2^{2017}}{2}+1-1=2^{2016}$
=> $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=2^{2016}$
P/s:Bài này mà để những bạn lớp 9 làm thì khó thật.
Kiến thức này lớp 9 cũng đã đc học rồi mà
Gửi bởi F IT Hacker trong 05-07-2017 - 18:09
Cho các em ôn lại chỉnh hợp; tổ hợp & Newton nhé :
1) Cho đa giác đều 10 cạnh nội tiếp. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều ấy?
2) Tính $C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2}+...+C_{2018}^{1008}$
Gửi bởi F IT Hacker trong 05-07-2017 - 18:04
Hoàn toàn ủng hộ ý kiến của a Hoàng vì cá nhân e vẫn mù BĐT:
Tiếp nhé:
1. Tìm số nguyên $n$ thỏa mãn:$n^{3}+2015n=2017^{2016}+1$
2. Cho $a,b,x,y$ là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn: $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$ và $x^{2}+y^{2}=1$.
Chứng minh rằng: $\frac{x^{2016}}{a^{1003}}+\frac{y^{2016}}{b^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}$
Chỗ đỏ có vẻ như sai đề (2006 mới đúng)
Bài 2 chính là câu 3 của LHP 2015
Gửi bởi F IT Hacker trong 04-07-2017 - 16:02
Thậm chí em còn chưa đọc được đề thi AMS nữa.Chẳng qua là đưa về dạng bất đẳng thức tách các biến độc lập như sau:
$f(x) +f(y) +f(z) \geq c$ (hoặc $\leq$)Với $c$ là một hằng số.Việc còn lại là tìm hệ số đánh giá $f(x) \geq mx^2 +n$ (hoặc
$f(x) \leq mx^2 +n$ rồi xây dựng các bất đẳng thức tương tự cộng lại.Nếu bạn nào thắc mắc về cách tìm các hệ số ấy thì phải học đạo hàm trước đã sau đó nghiên cứu đến phương pháp "tiếp tuyến" sẽ thấy "ảo diệu"
Mình nói đùa tí thôi =)))
Cái phương pháp ấy mình đã học qua rồi (và có khi cũng có nhiều bạn khác đã học rồi) nên cũng ko cần nhắc lại nữa
Bài 35: Cho a,b,c Tìm Max x,y,z là sao?
Đã fix đề
Gửi bởi F IT Hacker trong 04-07-2017 - 15:59
Bài 25.
$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a+b+c)}{a^3(b+c)}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{b^2c}{a^3}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{c^2a}{b^3}\geqslant\frac{9}{2}$
Áp dụng bđt $Cô-si$ :
$VT=\sum \left [ \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\frac{c^2a}{2b^3}\right ]+\sum\frac{c^2a}{2b^3}\geqslant2\sum \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2ab(b+c)}}+\frac{3}{2}$
$= \frac{3}{2}+2\sum \frac{c^2}{\sqrt{2abc(b+c)}}\geqslant^{CS} \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})}= \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{A}$
với $A=\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})$
Ta có $A^2=2abc(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})^2\leqslant 2abc.6(a+b+c)$ ( áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$ )
$=12(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leqslant 4(ab+bc+ca)^2$ ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )
$\leqslant \frac{4(a+b+c)^4}{9}$ ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )
$\Rightarrow A\leqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3}$
$\Rightarrow VT\geqslant\frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)^2}{3}}= \frac{9}{2}$
Vậy ta có $đpcm$.
Hơi dài e ơi =)))
Dùng AM-GM cho 3 số là ok rồi
Gửi bởi F IT Hacker trong 03-07-2017 - 10:18
34. Cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác và ab + bc + ac = 3abc. C/M :
$\sum \frac{1}{ab+c^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}+abc}$
35. Cho a;b;c t/m : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=8$ Tìm max : $\left ( a^{2}-bc \right )(b^{2}-ac)(c^{2}-ab)$
Gửi bởi F IT Hacker trong 03-07-2017 - 10:07
32.
$\sum \frac{2x}{6-yz}\leq \sum \frac{x+x}{3+x^2}=\sum \frac{x+x}{x^2 + y^2 + z^2+x^2} \leq \sum (\frac{x^2}{y^2+z^2} +\frac{x^2}{x^2+z^2}) = \frac{3}{2}$
Chỗ này có vấn đề (áp dụng CS sai)
Gửi bởi F IT Hacker trong 03-07-2017 - 09:26
32. Cho x; y; z >0 T/M : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ C/M : $\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}\leq \frac{3}{2}$
33. Cho x; y; z >0 T/M : x + y + z = 12 C/M : $(x^{2}-4x+16)(y^{2}-4y+16)(z^{2}-4z+16)\geq 4096$
Mới đầu cứ đơn giản cái đã, sau nâng dần độ khó
Gửi bởi F IT Hacker trong 19-06-2017 - 15:45
Áp dụng Cauchy cho 3 số ta có $(b-a)^{3}+128$=$\left ( b-a \right )^{3}+64+64\geq 3.4.4.(b-a)=48(b-a)$ (1)
Lại có : $4(b^{3}-a^{3})\geq (b-a)^{3}$ (2) (do b-a>0)
Từ (1) và (2) tự làm tiếp thôi bạn
Vậy bạn trình bày cách của bạn đi.
Gửi bởi F IT Hacker trong 19-06-2017 - 14:12
Đặt b-a=k(k>0)ta được bdt$\Leftrightarrow a^{3}-12a\leq (a+k)^{3}-12(a+k)+32\Leftrightarrow 3a^{2}k+3ak^{2}+k^{3}-12k+32\geq 0\Leftrightarrow 3k(a^{2}+ak+\frac{k^{2}}{4})-\frac{3k^{3}}{4}+k^{3}-12k+32\geq 0\Leftrightarrow 3k(a+\frac{k}{2})^{2}+\frac{k^{3}}{4}-12k+32\geq 0$
Ta có $\frac{k^{3}}{4}-12k+32=\frac{1}{4}(k^{3}-48k+128)=\frac{1}{4}(k-4)^{2}(k+8)\geq 0$
Có $3k(a+\frac{k}{2})^{2}\geq 0$(vì k>0)
suy ra điều phải cm
dấu bằng xảy ra khi b=2;a=-2
Cách bạn hơi dài
Cách mình : chuyển vế phát là ok thôi
Gửi bởi F IT Hacker trong 19-06-2017 - 09:09
Cho a<b. C/M : $a^{3}-12a\leq b^{3}-12b+32$
Bài này khá hay và mình cũng đã đăng trong pic của bạn @Nguyenphuctang nhưng không thấy ai giải nên mình đăng lại 1 lần nữa để các bạn thử sức =)
Gửi bởi F IT Hacker trong 14-06-2017 - 16:45
cụ thể hơn được ko bạn
ta có $\prod \left ( x^{2} - yz\right )\leq \frac{1}{27}\left ( \sum \left (x^{2} - yz \right ) \right )^{3}$ (1)
$2(\sum \left ( x^{2}-yz \right ))\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ (trừ 2 vế đi thôi ha ) (2)
Từ (1) và (2) bn chắc suy ra đc rồi
$$ \prod (x^{2}-yz) \leq \dfrac{1}{8}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3} = \dfrac{1}{8}$$
Bài này là Korean MO 2016 ngày thứ 2
bạn nên làm chi tiết hơn vì có thể sẽ có 1 số bn ko hiểu đâu, trên pic này cx có 1 số bn ko giỏi bđt mà
Gửi bởi F IT Hacker trong 13-06-2017 - 19:01
Cho $a+b+c=6$ C/M : $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(a^{2}-ac+c^{2})$ $\leq 768$
Bài này khá hay và mình nghĩ hơn 2 ngày mới ra đc cách c/m. Ae thử sức xem nào
Gửi bởi F IT Hacker trong 12-06-2017 - 21:13
Mình thấy dạo này diễn đàn có khá nhiều bài đăng mà vẫn chưa có lời giải và đã bị trôi mất, nên mình chỉ muốn góp ý rằng diễn đàn nên chia các bài toán đã có lời giải và bài toán chưa có lời giải tách riêng ra, để những bài chưa có lời giải đỡ bị trôi.
Những bài tóan không có lời giải trong 1 thời gian dài (vì quá khó) thường sẽ đc các ad đăng trong chuyên mục PSW đó bn
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học