PhamQuocSang

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ hai: 11 - 9 - 2018

Câu 1: Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$

We have $ ab(a+b) \le a^3+b^3.$ So $k{x_k} \left( {k + {x_k}} \right) \le k^3+x_k^3.$ Hence, \[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{k^3} + x_k^3} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} + \sum\limits_{k = 1}^n {x_k^3} = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} .\] But \[2\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}} \right) = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\] So \[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\]

L

 

 

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn 

$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ 

và

$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$

với mọi $i = 1, 2, \dots, n$

 

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$

 

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $T$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

 

Gọi $M$, $N$, $M'$, $N'$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, cung nhỏ $AC$, cung lớn $ACB$, và cung lớn $ABC$. Gọi $O$ là tâm của đường tròn $\Gamma$.\\ Lấy điểm $K \neq F$ trên $\Gamma$ sao cho $FK$ và $MM'$ song song, lấy điểm $L \neq G$ trên $\Gamma$ sao cho $GL$ và $NN'$ song song.\\ Ta dễ thấy rằng khoảng cách giữa $FK$ và $MM'$ thì bằng một nữa của $AD$ = $AE$, và cùng bằng khoảng cách giữa $GL$ và $NN'$.\\ Từ đó ta có $MM'KF$ là hình thang cân, tương tự $N'NGL$ là hình thang cân, và do $MF = M'K = NG.$ Nên $MNGF$ là hình thang cân. Ta dễ thấy rằng $MN$ và $DE$ cùng vuông góc với phân giác góc $\angle BAC$ nên ta suy ra điều phải chứng minh.

5a đưa về chứng minh 2 đường trung tuyến BM và CN bằng nhau thì suy ra tam giác ABC cân

cau 5

$\frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}= \frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}}{1.(y-1)}+\frac{y^{2}}{1.(x-1)}\geq$ $\frac{x^{2}}{\frac{y^{2}}{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=2(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})\geq 2.2=4$

dau = xảy ra khi x=y=2

chú ý đáp án, min bằng 8.

Tuyển tập các bài bdt năm nay sẽ dc đăng tại : https://www.facebook...TAoMathematics/

tuyển tập các bdt  năm nay sẽ được đăng tại https://www.facebook...TAoMathematics/

Bài 3:Áp dụng bất đẳng thức phụ $ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}$ ta có:

$P=x^{3}y+xy^{3}=(x^{2}+y^{2})xy\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+xy)^{2}}{4}=\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=> $x^{2}+y^{2}=xy=\frac{1}{2}<=>\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=\frac{3}{2}\\ xy=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{\frac{3}{2}}\\ xy=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.<=>$x, y là nghiệm của phương trình:$X^{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}.X+\frac{1}{2}=0$

Vậy GTLN của P là $\frac{1}{4}$ đạt đc khi ...

Lời giải này sai do không tồn tại x, y để xảy ra đẳng thức.

Các bạn có thể truy cập page fb: The art of Mathematics để nhận file tổng hợp các bài bdt từ kì thi HSG tỉnh năm nay. Khoảng ngày 19/3 /2018 sẽ có

Đây là lời giải và bình luận một số câu trong đề, riêng bài 3 chúng tôi chưa tìm ra lời giải.  Mong các bạn góp ý cho bài viết được hoàn thiện thêm.

Thầy có thể cho em xin file đáp án được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều ạ

hiện nhóm a vẫn đang giải em, mới chỉ xong đề lớp 10 và còn 1 câu đề 11. 12 thì a vẫn chưa đụng vào

Bài 3 là x² hay là x³ các bạn nhỉ 

Đề full hd nè

Lời giải đề GGTH 

https://www.dropbox....H.Hiep.pdf?dl=0